Question

3²n + 7 é divisível por 8

Answer 1

Acredito que você queria digitar $\mathsf{3^{2n}+7}$ é divisível por 8 para todo número natural $\mathsf{n\geq0.}$

Vamos proceder por indução sobre n.

Passo base:

Vamos provar que a proposição vale para n = 0.

$\mathsf{3^{2\cdot0}+7=3^{0}+7}=\\\\=\mathsf{1+7}=\\\\=\mathsf{8}$

Portanto, a proposição vale para n = 0, pois 8 é divisível por 8.

Hipótese indutiva:

Vamos supor que a proposição vale para algum $\mathsf{k\in\mathbb{N},}$ ou seja, $\mathsf{8\mid 3^{2k}+7.}$ Isso sugere a existência de um certo $\mathsf{q\in\mathbb{Z}}$ tal que:

$\mathsf{3^{2k}+7=8q.\qquad(i)}$

Devemos provar que $\mathsf{8\mid3^{2(k+1)}+7,}$ isto é, existe $\mathsf{r\in\mathbb{Z}}$ de modo que:

$\mathsf{3^{2(k+1)}+7=8r.\qquad(ii)}$

Mostremos que $\mathsf{(i)\;\implies\;(ii).}$

Isto é, que a proposição (ii) é verdade toda vez que (i) é verdade.

Pratindo de $\mathsf{3^{2k}+7=8q}$ e multiplicando ambos os membros por $\mathsf{3^2,}$ temos:

$\mathsf{3^{2k}+7=8q}\implies\\\\\implies\mathsf{\left(3^{2k}+7\right)3^2=8q\cdot3^2}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2k}\cdot3^2+7\cdot3^2=8q\cdot9}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2k+2}+63=8\cdot(9q)}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2(k+1)}+7+56=8\cdot(9q)}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2(k+1)}+7=8\cdot(9q)-56}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2(k+1)}+7=8\cdot(9q)-8\cdot7}\implies\\\\\implies\mathsf{3^{2(k+1)}+7=8\cdot(9q-7)}$

Como q é inteiro, então $\mathsf{(9q-7)}$ também é. Chame $\mathsf{(9q-7)=r.}$ Então:

$\mathsf{3^{2(k+1)}+7=8\cdot r}$

Está provado que $\mathsf{(i)\;\implies\;(ii).}$ Portanto, pelo princípio de indução finita segue que $\mathsf{3^{2n}+7}$ é divisível por 8 para todo natural $\mathsf{n\geq0.}$

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Espero que isso seja util! :)

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