Question

Calcule a derivada da função a seguir pela definição:

f(x) = X^2 - 4x + 1/x

precisa ser pela definição.

Answer 1

Temos que:

$f(x)=x^2-4x+\frac{1}{x}$

Aplicando a definição de derivadas:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-4(x+h)+\frac{1}{(x+h)}-(x^2-4x+\frac{1}{x})}{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+\frac{1}{(x+h)}-(x^2-4x+\frac{1}{x})}{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h+\frac{1}{(x+h)}-x^2+4x-\frac{1}{x}}{h}$

Observe que podemos cancelar x² com -x² e -4x com 4x:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2-4h+\frac{1}{(x+h)}-\frac{1}{x}}{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (\frac{2xh+h^2-4h}{h}+\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (\frac{2xh+h^2-4h}{h})+\lim_{h \to 0}(\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{\frac{x-x-h}{(x+h)x}}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{\frac{-h}{(x+h)x}}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{-h}{(x+h)x}.\frac{1}{h})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{-1}{(x+h)x})$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} (2x+h-4)+\lim_{h \to 0}(\frac{-1}{x^2+hx})$

Aplicando os limites:

$f'(x)= (2x+(0)-4)+(\frac{-1}{x^2+(0)})$

$f'(x)= 2x+0-4+(\frac{-1}{x^2+0})$

$f'(x)= 2x-4-\frac{1}{x^2}$