Question

Dado que sen x = 4/5 e que x pertence ao 1º quadrante, calcule sen 2x e cos 2x​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos o seguinte dado:

$\boxed{\sin(x) = \frac{4}{5} }$

Com esse dado podemos encontrar o cosseno (x) através da relação fundamental da trigonometria, mas se atente ao fato de que o seno está ao quadrado, então teremos que elevar esse valor ao quadrado.

• Relação fundamental da trigonometria:

$\Large\boxed{ \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1}$

Substituindo:

$( \frac{4}{5} ) {}^{2} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \\ \frac{16}{25} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \\ \cos {}^{2} (x) = 1 - \frac{16}{25} \\ \\ \cos {}^{2} (x) = \frac{25 - 16}{25} \\ \\ \cos {}^{2} (x) = \frac{9}{25} \\ \\ \cos (x) = \pm \sqrt{ \frac{9}{25} } \\ \\ \cos (x) = \pm \frac{3}{5}$

Temos que o resultado foi esse e ficou ±, mas lembre-se que o cosseno no primeiro quadrante é positivo, portanto vamos desprezar o valor negativo, sendo então a nossa resposta:

$\boxed{\cos(x) = \frac{3}{5} }$

Tendo feito isso, vamos a parte mais complicada que será calcular Sen(2x) e Cos(2x), para isso vamos usar as fórmulas de arco duplo.

Vamos começar com seno.

I) Sen (2x):

Vou fazer a dedução da fórmula do arco duplo do seno através da fórmula da soma de arcos. A fórmula da adição de arcos para o seno é dada por:

$\boxed{\sin(a + b) = \sin(a) . \cos(b) + \sin(b) . \cos(a)}$

Mas como temos (2x), podemos escrever dessa forma:

$\sin(2x) \rightarrow \sin(x + x)$

Com isso, devemos substituir no local de "a" e "b" a letra "x".

$\sin(x + x) = \sin(x) . \cos(x) + \sin(x). \cos(x) \\ \boxed{\sin(x + x) =2. \sin(x). \cos(x)}$

Pronto, essa será a fórmula que usaremos.

Substituindo os dados:

$\sin(2x) = 2. \sin(x). \cos(x) \\ \sin(2x) = 2. \frac{4}{5} . \frac{3}{5} \\ \sin(2x ) = 2. \frac{12}{25} \\ \boxed{\sin(2x) = \frac{24}{25} }$

II) Cos (2x):

Do mesmo jeito que fizemos anteriormente, vamos fazer com esse, ou seja, a dedução da fórmula do arco duplo através da fórmula da soma de arcos.

A fórmula da soma dos arcos para o cosseno é dada por:

$\boxed{\cos(a + b) = \cos(a) . \cos(b) - \sin(a) . \sin(b) }$

Mas como temos 2x, teremos que reescrever dessa forma:

$\cos(2x) \rightarrow \cos(x + x)$

Substituindo a letra "x" no local das letras "a" e "b":

$\cos(x + x) = \cos(x) . \cos(x) - \sin(x) . \sin(x) \\ \cos(x + x) = \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x)$

Essa é a fórmula do arco duplo para o cosseno.

Substituindo os dados:

$\cos(2x) = \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x) \\ \cos(2x) = ( \frac{4}{5} ) {}^{2} - ( \frac{3}{5} ) {}^{2} \\ \cos(2x) = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ \boxed{ \cos(2x) = \frac{7}{25}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️