Question

Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:

f(x)=$\frac{1}{x}$ e p=2

Answer 1

Oi Julia  :)

Para a equação da reta tangente vamos precisar dos seguintes itens: 
x0 , y0  e m (coeficiente angular) . 

Na questão foi nos dado que:
x0 =2     ( seria o mesmo p=2)

O y ( ou f(p) ) pode ser encontrado substituindo o valor de x na função : 

$f(x)= \frac{1}{x} \\ \\ f(2)= \boxed{\frac{1}{2}}$

Logo nosso y0 = 1/2

Agora nos resta encontrar o coeficiente angular m. Para isso basta derivar a função: 

$f(x)= \frac{1}{x} \ \ \ \ invertendo\ a \ fracao, \ pois \ \boxed {\frac{1}{a}=a^{-1} } \\ \\ f(x)= x^{-1} \ \ \ derivando \ na \ regra \ do \ tombo\ \ \ \boxed{A^{n} = n.A^{n-1}} \\ \\ f'(x)=-1.x^{-1-1} \\ \\ f'(x)=-x^{-2} \\ \\ f'(x)= \boxed{- \frac{1}{x^2} }$

Agora é só substituir o valor de p (ou x) no resultado da derivada:

$f(x)=- \frac{1}{x^2} \\ \\ m=f(2)= -\frac{1}{2^2} \\ \\ m=\boxed{ -\frac{1}{4} }$

Agora temos todos os ingredientes para montar a equação da reta tangente: 

x=2 , y= 1/2  ,  m= -1/4

Usando a forma para encontrar a equação da reta tangente: 

$y-y0=m(x-x0) \\ \\ y- \frac{1}{2} =- \frac{1}{4}(x-2) \\ \\ y- \frac{1}{2} =- \frac{x}{4}+ \frac{2}{4} \\ \\ y=- \frac{x}{4}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \\ \\ \boxed{y=- \frac{x}{4}+1 } \ \ \ Equacao \ da \ reta \ tangente$

No gráfico em anexo percebemos claramente que a reta tangencia a função exatamente no ponto p=2.

Qualquer dúvida estamos aí . 

Espero que tenha entendido esse método :)