Question

UTILIZE O METODO DE INTEGRACAO POR PARTES CALCULE A INTEGRAL A BAIXO

INTEGRAL xe^x dx

ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA
A) XE^X - E^X +C
B) X E^X +C
C) E^X +C
D) X² E^X +C
E) E^2X +C

Answer 1

Resposta:

Letra (A)

Explicação passo-a-passo:

$I = \int xe^x\,dx$  -----> Eq(1)

Método de integração por partes: $(fg)' = f'g + fg' \Rightarrow f'g = (fg)' - fg'$,

agora é só integrar ambos os lados da equação acima e usar o Teorema Fundamental do Cálculo no termo $(fg)'$, teremos o seguinte:

$\int f'g\,dx = fg \ - \int fg'\,dx$  -----> Método da integração por partes. Eq(2)

Agora fazemos a seguinte escolha:

$f' = e^x$, logo, $f = \int f' \,dx = \int e^x\,dx = e^x$,

por outro lado

$g = x$ , logo, $g' = 1$.

Com essa identificação acima, e usando Eq(2), podemos escrever a Eq(1) como:

$\int xe^x\,dx =e^x\cdot x \ - \int e^x\cdot1\,dx \ + C= xe^x\ - \int e^x\,dx\ + C$, Eq(3)

onde C é a constante de integração. O termo integral da Eq(3) é: $\int e^x\,dx = e^x$, logo a Eq(3) pode ser rescrita na sua forma final como:

                                        $\int xe^x\,dx = xe^x\ - e^x + C$.