Question

ME AJUDA PFVVV (╥﹏╥)

1) qual é o termo do médio do desenvolvimento de (x-3)^8?

2) Qual é o termo central no desenvolvimento de (x-2)^8?

3) Determine o valor de x tal que o 2°, 3° e 5° termo do desenvolvimento do binômio (2+x)^5 estejam em PG.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Veja que o desenvolvimento de $(x-3)^8$ possui $9$ termos e queremos o termo médio, ou seja, o quinto termo.

O $(k+1)-\acute{\text{e}}\text{simo}$ termo é dado por $\dbinom{8}{k}\cdot x^{8-k}\cdot(-3)^{k}$

Tomando $k=4$, temos:

$\dbinom{8}{4}\cdot x^{8-4}\cdot(-3)^{4}$

$=70\cdot x^4\cdot81$

$=\boxed{5670x^4}$

2) Agora queremos o termo central de $(x-2)^8$, novamente o quinto termo.

O $(k+1)-\acute{\text{e}}\text{simo}$ termo é dado por $\dbinom{8}{k}\cdot x^{8-k}\cdot(-2)^{k}$

Tomando $k=4$, segue que:

$\dbinom{8}{4}\cdot x^{8-4}\cdot(-2)^{4}$

$=70\cdot x^4\cdot16$

$=\boxed{1120x^4}$

3) $(2+x)^5=32+80x+80x^2+40x^3+10x^4+x^5$

Queremos que $(80x,80x^2,10x^4)$ seja uma PG

Numa PG$(a_1,a_2,a_3)$, temos que:

$(a_2)^2=a_1\cdot a_3$

$(80x^2)^2=80x\cdot10x^4$

$6400x^4=800x^5$

$800x^5=6400x^4$

$\dfrac{x^5}{x^4}=\dfrac{6400}{800}$

$\boxed{x=8}$