Matéria: Matemática
Autor: gabrielfellipe6657
Perguntado 6 anos atrás

Dada a PA ( 2 , 5 , 8 , 10 , ... ). O seu vigésimo termo é ?

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

OBSERVAÇÃO 1: Houve um erro na digitação do exercício, a saber, foi indicado como quarto termo (a₄) 10, em vez de 11, pois se percebe dos dois termos anteriores, 5 e 8, que um é o acréscimo de três unidades ao outro. E, se fosse considerado 10, a sequência apresentada não seria uma P.A.

Da sequência (2, 5, 8, 11,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)vigésimo termo (a₂₀): ?

d)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 2: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 2 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₀ = 2 + (20 - 1) . (3) ⇒

a₂₀ = 2 + (19) . (3) ⇒ (Veja a Observação 3.)

a₂₀ = 2 + 57 ⇒

a₂₀ = 59

Observação 3: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O vigésimo termo da P.A.(2, 5, 8, 11, ...) é 59.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₀ = 59 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

59 = a₁ + (20 - 1) . (3) ⇒

59 = a₁ + (19) . (3) ⇒

59 = a₁ + 57 ⇒ (Passa-se 57 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

59 - 57 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₂₀ = 59.)

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