Question

Por favor alguém me ajuda

Assinale a alternativa correta da PG

Answer 1

Resposta:

b) 192

Explicação passo-a-passo:

Se $(a_1,a_2,a_3)$ é uma PG, temos:

$(a_2)^2=a_1\cdot a_3$

Sendo $(x-2,\sqrt{x^2+11},2x+2)$ uma PG, então:

$(\sqrt{x^2+11})^2=(x-2)\cdot(2x+2)$

$x^2+11=2x^2+2x-4x-4$

$2x^2-x^2+2x-4x-4-11=0$

$x^2-2x-15=0$

$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)$

$\Delta=4+60$

$\Delta=64$

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm8}{2}=1\pm4$

$x'=1+4~\Rightarrow~x'=5$

$x'=1-4~\Rightarrow~x"=-3$ (não serve)

A PG em questão é $(3,6,12,\dots)$.

Temos $q=\dfrac{6}{3}~\Rightarrow~q=2$

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$a_7=a_1\cdot 2^6$

$a_7=3\cdot2^6$

$a_7=3\cdot64$

$\boxed{a_7=192}$

Answer 2

Resposta:

Alternativa b)

Explicação passo-a-passo:

$\displaystyle q= \frac{\sqrt{x^2+11} }{x-2} =\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+11} } \\\\\\(\sqrt{x^2+11})^2=(x-2)(2x+2)\\x^2+11=2x^2+2x-4x-4\\x^2-2x-15=0$

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-2x-15=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-2~e~c=-15\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-2)^{2}-4(1)(-15)=4-(-60)=64\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2(1)}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2(1)}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5\\\\S=\{-3,~5\}$

Substituindo x=-3 em (x-2, √x²+11, 2x+2):

(-3-2,√(-3)²+11, 2(-3)+2)= (-5, √20, -4) => não serve porque no enunciado a sequencia é de números positivos

Substituindo x=5 em (x-2, √x²+11, 2x+2):

(5-2,√(5)²+11, 2(5)+2)= (3, 6, 12) =>

q=6/3=2

aₙ=a₁.q⁽ⁿ⁻¹⁾

aₙ=3.2⁽ⁿ⁻¹⁾

a₇=3.2⁽⁷⁻¹⁾

a₇=3.2⁶

a₇=3.64

a₇=192