Question

(Vunesp) o grafico de y²=(2x-1)² é:
Resposta: hipérbole
OBS.: Como transformo essa expressão na equação reduzida da hipérbole?

Answer 1

O gráfico de $y^{2}=\left(2x-1 \right)^{2}$ não é uma hipérbole. Na verdade, representa duas retas concorrentes no plano cartesiano. Veja:

$y^{2}=\left(2x-1 \right )^{2}\\ \\ \sqrt{y^{2}}=\sqrt{\left(2x-1 \right )^{2}}\\ \\ \left|y\right|=\left|2x-1\right|$


$\bullet\;\;$ Se $y \geq 0$, então $\left|y\right|=y$. Daí a equação fica

$y=\left|2x-1\right|\\ \\ \left\{\begin{array}{l} y=2x-1,\;\;\text{ se }2x-1 \geq 0\\ y=1-2x,\;\;\text{ se }2x-1 < 0 \end{array}\right.\\ \\ \\ \left\{\begin{array}{l} y=2x-1,\;\;\text{ se }x \geq \frac{1}{2}\\ y=1-2x,\;\;\text{ se }x < \frac{1}{2} \end{array}\right.$


$\bullet\;\;$ Se $y<0$, então $\left|y\right|=-y$. E a equação fica

$-y=\left|2x-1\right|\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} -y=2x-1,\;\;\text{ se }2x-1\geq 0\\ -y=1-2x,\;\;\text{ se }2x-1<0 \end{array} \right.\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} y=1-2x,\;\;\text{ se }x\geq \frac{1}{2}\\ y=2x-1,\;\;\text{ se }x<\frac{1}{2} \end{array} \right.$


De qualquer forma, a curva é representada assim:

$\left\{ \begin{array}{l} y=2x-1,\;\;\text{ se }\left(y\geq 0\text{ e }x \geq \frac{1}{2} \right )\text{ ou }\left(y<0 \text{ e }x<\frac{1}{2} \right ) \\ \\ y=1-2x,\;\;\text{ se}\left(y\geq 0\text{ e }x <\frac{1}{2} \right )\text{ ou }\left(y<0 \text{ e }x\geq\frac{1}{2} \right ) \end{array} \right.$


E as duas equações da sentença acima representam retas no plano cartesiano.