Questão 4: A empresa MarSul, fabricante de pranchas de surf, após levantamento realizado observou que a produção e venda de seu produto podem ser estimadas pela função lucro L(x)= -2x2+380x-10850. O lucro é em reais e x é a quantidade produzida e vendida de pranchas de surf.

4.1 Para qual quantidade ocorre o lucro máximo da empresa, apresente os cálculos detalhadamente. Necessariamente você deve usar os conceitos estudados no livro didático (respostas feitas usando gráficos, derivadas ou outros assuntos não relacionados, não serão consideradas)

4.2 Qual o lucro da empresa para a venda de 100 unidades?

4.3 Qual a quantidade a ser vendida para se obter um lucro de R$1150?

Respostas

respondido por: JoséSalatiel

Olá,

Item 4.1

A quantidade produzida de pranchas de surf que determina o lucro máximo é o x do vértice.

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

Coeficientes: a = -2, b = 380 e c = -10850.

$x_v=\dfrac{-380}{2\cdot(-2)}\\\\\\x_v=\dfrac{-380}{-4}\\\\\\x_v=\boxed{95}$

Resposta: 95 pranchas de surf.

Item 4.2

Só substituir o x por 100.

$L(x)=-2x^2+380x-10850\\\\L(100)=-2\cdot100^2+380\cdot100-10850\\\\L(100)=-2\cdot10000+38000-10850\\\\L(100)=-20000+38000-10850\\\\L(100)=18000-10850\\\\L(100)=\boxed{7150}$

Resposta: R$ 7150,00.

Item 4.3

Só substituir L(x) por 1150, aplicar na fórmula de Bhaskara e resolver.

$1150=-2x^2+380x-10850\\\\-2x^2+380x-10850-1150=0\\\\-2x^2+380x-12000=0\\\\\\Coeficientes:\;a=-2,\;b=380\;e\;c=-1200\\\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=380^2-4\cdot(-2)\cdot(-12000)\\\Delta=144400-96000\\\Delta=48400\\\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\x=\dfrac{-380\pm\sqrt{48400}}{2\cdot(-2)}\\\\\\x=\dfrac{-380\pm220}{-4}\\\\\\x_1=\dfrac{-380+220}{-4}=\dfrac{-160}{-4}=\boxed{40}\\\\\\x_2=\dfrac{-380-220}{-4}=\dfrac{-600}{-4}=\boxed{150}$