Question

três homens e três mulheres vão sentar-se à volta de uma mesa redonda. De quantas formas podem ficar sentados alternadamente, ou seja, sem que fiquem duas pessoas do mesmo sexo juntas?

Answer 1

Ao todo, temos um total de 36 possibilidades!

Vamos imaginar a mesa dessa forma, 6 lugares, e o fim coincide com o inicio:

$... \square ~\square ~\square ~\square ~\square ~\square...$

Temos 3 mulheres e 3 homens, e não podem sentar-se duas pessoas do mesmo sexo juntas! Aplicando o principio fundamental da contagem, temos que no primeiro lugar, podem sentar-se 1 dos 3 homens ou 1 das 3 mulheres!

Como não há um inicio ou fim (visto que a mesa é redonda), o sexo que colocarmos primeiro não irá alterar o resultado.

• Escolhendo uma das cadeiras como inicial, temos que 3 pessoas do mesmo sexo, podem sentar nesse lugar, logo há 3 opções possíveis (para tornar as coisas mais intuitivas, vamos sugerir que um homem escolheu esse lugar):

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\square ~\square ~\square ~\square ~\square...}$

• Na próxima cadeira, teremos mais 3 opções, já que terá de ser de outro sexo (uma mulher):

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{3}} ~\square ~\square ~\square ~\square...}$

• Em seguida, temos apenas 2 opções (já que terá de ser um homem e 1 deles já está sentado na primeira cadeira).

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{2}}~\square ~\square ~\square...}$

• Agora, temos 2 opções (2 mulheres não sentaram):

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{2}}~\boxed{\mathsf{2}} ~\square ~\square...}$

• Então, temos apenas 1 opção (1 homem de pé):

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{2}}~\boxed{\mathsf{2}} ~\boxed{\mathsf{1}} ~\square...}$

• Enfim, a ultima pessoa senta-se (ultima mulher):

$\mathsf{... \boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{3}} ~\boxed{\mathsf{2}}~\boxed{\mathsf{2}} ~\boxed{\mathsf{1}} ~\boxed{\mathsf{1}}...}$

Segundo o principio fundamente da contagem, o número de possibilidades, será definido pelo produto (multiplicação) de todos esses valores:

$\mathsf{p = 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1}\\\mathsf{p = 9 \cdot 4 \cdot 1}\\\boxed{\mathsf{p = 36}}$

Quer aprender mais sobre o princípio fundamental da contagem?! Experimente essas questões ;)

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