• Matéria: Matemática
  • Autor: jojobi
  • Perguntado 6 anos atrás

Calcular a soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada M = [mij]4x4 definida por mij = (2i - j)^2

Respostas

respondido por: marcos4829
2

Olá, noite ◉‿◉.

Temos que a matriz é dada por:

 \sf M = \underbrace{ [mij]}_{organizac\tilde{a}o} \:  \:  \underbrace{4 \times 4}_{ordem}</p><p>

O termo (mij) significa a organização dos elementos dessa matriz, exemplo:

 \bigstar \: \sf m_{11} \rightarrow i = 1 \:  \:  \: j = 1 \:  \bigstar

Já o termo (4x4) nos indica a ordem dessa matriz, o primeiro número indica a quantidade de linhas e o segundo a quantidade de colunas.

 \bigstar \: \sf( \underbrace{m}_{linha}\times \underbrace{n}_{coluna}) \: \bigstar

Sabendo isso, vamos escrever a estrutura dessa matriz através do elementos genéricos que são m11, m12.... dependendo da quantidade de linhas e colunas:

• Estrutura:

\begin{bmatrix}  \red{\underbrace{\sf{ m11}}_{i = 1 \:  \: j = 1}}&amp; \underbrace{ \sf m12}_{i = 1 \:  \: j = 2}&amp; \underbrace{ \sf \: m13}_{i = 1 \:  \: j = 3}&amp; \underbrace{\sf \: m14}_{i = 1 \:  \: j = 4}\\ \underbrace{ \sf \: m21}_{i = 2 \:  \: j = 1}&amp;\red{\underbrace{\sf \: m22}_{i = 2 \:  \: j = 2}}&amp; \underbrace{\sf \: m23}_{i = 2 \:  \: j = 3}&amp; \underbrace{\sf \: m24}_{i = 2 \:  \: j = 4}\\ \underbrace{\sf \: m31}_{i = 3 \:  \: j = 1}&amp; \underbrace{ \sf \: m32}_{i = 3 \:  \: j = 2}&amp;\red{\underbrace{ \sf \: m33}_{i = 3 \:  \: j = 3}}&amp; \underbrace{\sf \: m34}_{i = 3 \:  \: j = 4}\\ \underbrace{\sf \: m41} _{i = 4 \:  \: j = 1}&amp; \underbrace{ \sf \: m42}_{i = 4\:  \: j = 2}&amp; \underbrace{\sf \: m43}_{i = 4 \:  \: j = 3}&amp;\red{\underbrace{ \sf \: m44}_{i = 4 \:  \: j = 4}}\end{bmatrix} \tiny( \sf \: 4 \times 4)

Note que a diagonal principal é composta pelos elementos m11, m22, m33 e m44, ou seja, vamos calcular apenas os valores desses termos, pois é o questão quer saber. Para calcular os seus valores usaremos a lei de formação fornecida pela questão:

• Lei de formação:

 \sf mij = (2i - j) {}^{2}

Agora vamos iniciar os cálculos:

• Cálculos:

Elementos da diagonal principal:

 \sf \: m_{11} = (2i - j) {}^{2}  \\ \sf m_{11} = (2.1 - 1) {}^{2}  \\ \sf m_{11} = (2 - 1) {}^{2}  \\ \sf m_{11} = (1) {}^{2}  \\  \boxed{\sf m_{11}= 1} \\  \\ \sf m_{22} = (2i - j) {}^{2}  \\ \sf m_{22} = (2.2 - 2) \\ \sf m_{22} = (4 - 2) {}^{2}  \\ \sf m_{22} = (2) {}^{2}  \\ \boxed{\sf m_{22}= 4} \\  \\ \sf m_ {33} = (2i - j) {}^{2}  \\  \sf m_{33} = (2.3 - 3) {}^{2}  \\ \sf m_{33} = (6 - 3) {}^{2}  \\ \sf m_{33} = (3) {}^{2}  \\ \boxed{\sf m_{33} = 9} \\  \\ \sf m_{44 }= (2i - j) {}^{2}  \\ \sf m_{44} = (2.4 - 4) {}^{2}  \\ \sf m_{44} = (8 - 4) {}^{2}  \\ \sf m_{44} = (4) {}^{2}  \\ \boxed{ \sf m_{44}= 16}

• Soma dos elementos:

 \sf S_{dp} = m11 + m22 + m33 + m44 \\ \sf S_{dp} = 1 + 4 + 9 + 16  \\  \boxed{\sf S_{dp} = 30}

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️


jojobi: Obrigada
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