Question

Sabe-se que sen x = -1/3 e que x ∈ 3° quadrante, calcule tg x

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos que o seno (x) possui o valor igual a -1/3. A questão nos fornece esse dado e pergunta qual o valor da tangente (x), para isso devemos saber o valor do cosseno, pois a tangente é sen(x) sobre cos(x), para achar o valor do cosseno, podemos usar a relação fundamental da trigonometria, que é dada por:

$\boxed{ \sf \sin {}^{2} x + \cos {}^{2} x = 1}$

Vamos substituir o valor do seno e descobrir o cosseno, observe que o seno na relação está ao quadrado, portanto o valor do seno também estará ao quadrado.

$\sf ( - \frac{ 1}{3} ) {}^{2} + \cos {}^{2} x = 1 \\ \\ \sf \frac{1}{9} + \cos {}^{2}x = 1 \\ \\ \sf \cos {}^{2} x = 1 - \frac{1}{9} \\ \\ \sf \cos {}^{2} x = \frac{9 - 1}{9} \\ \\ \sf \cos {}^{2}x = \frac{8}{9} \\ \\ \sf \cos x = \pm \sqrt{ \frac{8 }{9}} \\ \\ \sf \cos x = \pm \frac{ \sqrt{8} }{3} \: \: ou \: \: \pm \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

Note que a questão nos diz que "x" está no terceiro quadrante, ou seja, o cosseno é negativo, então vamos desprezar o valor positivo e ficar apenas com o negativo.

$\boxed{ \sf \cos x = - \frac{ \sqrt{8} }{3} \: \: ou \: \: - \frac{2 \sqrt{2} }{3} }$

Por fim, vamos substituir na fórmula da tangente e matar a questão:

$\boxed{\sf \tan x = \frac{ \sin x}{ \cos x } } \\ \\ \sf \tan x = \frac{ \frac{ - 1}{3} }{ - \frac{2 \sqrt{2} }{3} } \\ \\ \sf \tan x = - \frac{ 1}{3} .( - \frac{3 }{2 \sqrt{2} } ) \\ \\ \sf \tan x = \frac{3}{6 \sqrt{2} } \\ \\ \sf \tan x = \frac{1}{2 \sqrt{2} } \\ \\ \sf \tan x = \frac{1}{ 2\sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ \sf \tan x = \frac{ \sqrt{2} }{2. \sqrt{4} } \\ \\ \sf \tan x = \frac{ \sqrt{2} }{2.2} \\ \\ \boxed{\sf \tan x = \frac{ \sqrt{2} }{4} }$

Esse resultado faz sentido, pois a tangente no terceiro quadrante é positiva.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️