Question

Resolva as equações:

a) 2x^3x + ^1 = 4x - ^2
b) 25x - ^1 = 125^x + ^3
c) 27^ + ^1 = 9^x
d) (3^x)^x - ^1 = 9
e) (4x - ^2)^x = 8^x​​

Answer 1

Oie, Td Bom?!

1.

a)

$2 {}^{3x + 1} = 4 {}^{x - 2}$

• Escreva a expressão na forma exponencial com base 2.

$2 {}^{3x + 1} = 2 {}^{2x - 4}$

• Dado que as bases são as mesmas, iguale os expoentes.

$3x + 1 = 2x - 4$

$3x - 2x = - 4 - 1$

$x = - 5$

b)

$25 {}^{x - 1} = 125 {}^{x + 3}$

• Escreva a expressão na forma exponencial com base 5.

$5 {}^{2x - 2} = 125 {}^{x + 3}$

• Novamente, escreva a expressão na forma exponencial com base 5.

$5 {}^{2x - 2} = 5 {}^{3x + 9}$

• Dado que as bases são as mesmas, iguale os expoentes.

$2x - 2 = 3x + 9$

$2x - 3x = 9 + 2$

$- x = 11$

• Multiplique tudo por - 1.

$x = - 11$

c)

$27 {}^{x + 1} = 9 {}^{x}$

• Escreva a expressão na forma exponencial com base 3.

$3 {}^{3x + 3} = 9 {}^{x}$

• Novamente, escreva a expressão na forma exponencial com base 3.

$3 {}^{3x + 3} = 3 {}^{2x}$

• Dado que as bases são as mesmas, iguale os expoentes.

$3x + 3 = 2x$

$3x - 2x = - 3$

$x = - 3$

2.

a)

$(3 {}^{x} ) {}^{x - 1} = 9$

• Simplifique a expressão multiplicando os expoentes.

$3 {}^{x.(x - 1)} = 9$

• Represente o número em forma exponencial com base 3.

$3 {}^{x.(x - 1)} = 3 {}^{2}$

• Use a propriedade distributiva da multiplicação e multiplique cada termo dentro dos parênteses por x.

$3 {}^{x {}^{2} - x} = 3 {}^{2}$

• Dado que as bases são as mesmas, iguale os expoentes.

$x {}^{2} - x = 2$

$x {}^{2} - x - 2 = 0$

• Escreva - x como uma diferença.

$x {}^{2} + x - 2x - 2 = 0$

• Coloque o fator x em evidência na expressão.

$x.(x + 1) - 2x - 2 = 0$

• Coloque o fator - 2 em evidência na expressão.

$x.(x + 1) - 2(x + 1) = 0$

• Coloque o fator x + 1 em evidência na expressão.

$(x + 1).(x - 2) = 0$

• Quando o produto dos fatores é 0, pelo menos um dos fatores é 0.

$x + 1 = 0 \\ x - 2 = 0$

$x = - 1 \\ x = 2$

S $[ x_{1} = - 1 \: \: x_{2} = 2]$

b)

$(4 {}^{x - 2} ) {}^{x} = 8 {}^{x}$

• Escreva a expressão na forma exponencial com base 2.

$2 { }^{(2x - 4)x} = 8 {}^{x}$

• Novamente, escreva a expressão na forma exponencial com base 2.

$2 {}^{(2x - 4)x} = 2 {}^{3x}$

• Use a propriedade distributiva da multiplicação e multiplique cada termo dentro dos parênteses por x.

$2 {}^{2x {}^{2} - 4x } = 2 {}^{3x}$

• Dado que as bases são as mesmas, iguale os expoentes.

$2x {}^{2} - 4x = 3x$

$2x {}^{2} - 4x - 3x = 0$

$2x {}^{2} - 7x = 0$

• Coloque o fator x em evidência na expressão.

$x.(2x - 7) = 0$

• Quando o produto dos fatores é 0, pelo menos um dos fatores é 0.

$x = 0 \\ 2x - 7 = 0$

$x = 0 \\ x = \frac{7}{2}$

S $</strong><strong>[</strong><strong> x_{1} = 0 \: \: x_{2} = \frac{7}{2} </strong><strong>]</strong><strong>$

Att. Makaveli1996

Answer 2

Equação exponencial

São equações cuja variável se encontra no expoente. A resolução de uma equação exponencial consiste em obter bases iguais para obter expoentes iguais através da utilização das propriedades das potências e de potências especiais tais como expoente zero, expoente negativo e expoente racional. Boa parte destas equações podem ser resolvidas com auxílio da decomposição em fatores primos porém existem equações exponenciais que exigem transformações e artifícios.

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1)

a)

$\mathsf{2^{3x+1}=4^{x-2}}\\\mathsf{2^{3x+1}=(2^2)^{x-2}}\\\mathsf{2^{3x+1}=2^{2x-4}}\\\mathsf{3x+1=2x-4}\\\mathsf{3x-2x=-1-4}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=-5}}}}}$

b)

$\mathsf{25^{x-1}=125^{x+3}}\\\mathsf{(5^2)^{x-1}=(5^3)^{x+3}}\\\mathsf{5^{2x-2}=5^{3x+9}}\\\mathsf{2x-2=3x+9}\\\mathsf{2x-3x=2+9}\\\mathsf{-x=11\cdot(-1)}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=-11}}}}}$

c)

$\mathsf{27^{x+1}=9^x}\\\mathsf{(3^3)^{x+1}=(3^2)^x}\\\mathsf{3^{3x+3}=3^{2x}}\\\mathsf{3x+3=2x}\\\mathsf{3x-2x=-3}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=-3}}}}}$

2)

a)

$\mathsf{(3^x)^{x-1}=9}\\\mathsf{3^{x^2-x}=3^2}\\\mathsf{x^2-x=2}\\\mathsf{x^2-x-2=0}\\\mathsf{a=1~~b=-1~~c=-2}\\\mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}\\\mathsf{\Delta=1+8}\\\mathsf{\Delta=9}\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\mathsf{</p><p>x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}}\\\mathsf{x=\dfrac{1\pm3}{2}}\begin{cases}\mathsf{x_{1}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2}\\\mathsf{x_{2}=\dfrac{1-3}{2}=-\dfrac{2}{2}=-1}\end{cases}$

b)

$\mathsf{(4^{x-2})^x=8^x}\\\mathsf{([2^2]^{x-2})^x=(2^3)^x}\\\mathsf{(2^{2x-4})^x=2^{3x}}\\\mathsf{2^{2x^2-4x}=2^{3x}}\\\mathsf{2x^2-4x=3x}\\\mathsf{2x^2-4x-3x=0}\\\mathsf{2x^2-7x=0}\\\mathsf{x(2x-7)=0}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=0}}}}} \\\mathsf{2x-5=0}\\\mathsf{2x=5}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=\dfrac{7}{2}}}}}}$

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