ÁLGEBRA LINEAR - NÃO ENTENDI MUITO BEM A PERGUNTA DESSE EXERCÍCIO ALGUÉM PODE ME ESCLARECER ?
ANALISE OS PONTOS FIXOS DO OPERADOR LINEAR T(X,Y) = (2X –Y, 3X + Y)
TAL QUE Ax = λx.
Respostas
Resposta:
Operadores Lineares
5.5 Operador Ortogonal
Defini¸c˜ao
Uma matriz M, n × n, ´e dita ortogonal quando sua inversa ´e igual `a sua
transposta, isto ´e, quando
M−1 = Mt
.
Ou seja, M ´e ortogonal quando
MtM = I.
Exemplo 1
A matriz
M =
1/
√
2 1/
√
2
−1/
√
2 1/
√
2
´e ortogonal.
Propriedades
1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.
2. O determinante de uma matriz ortogonal M ´e 1 ou -1.
3. Uma matriz ´e ortogonal se, e s´o se, suas colunas s˜ao vetores ortonormais
(com rela¸c˜ao ao produto interno usual de R
n). O mesmo vale para as
linhas.
4. O produto de duas matrizes ortogonais ´e uma matriz ortogonal.
Defini¸c˜ao
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano, isto ´e, um espa¸co vetorial de dimens˜ao
finita, munido de um produto interno. Um operador linear T : V → V ´e dito
ortogonal quando preserva a norma de cada vetor, isto ´e,
|T(v)| = |v|
para todo v ∈ V .
Exemplo 2
Sejam V = R
2 munido do produto interno usual e θ um n´umero real. Ent˜ao,
o operador T : R
2 → R
2 definido por
T(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)
e ortogonal.
Exemplo 3
Seja V = R
3 munido do produto interno usual. O operador linear T : R
3 →
R
3 definido por
T(x, y, z) =
3
7
x +
2
7
y +
6
7
z, −
6
7
x +
3
7
y +
2
7
z,
2
7
x +
6
7
y −
3
7
z
´e ortogonal.
Propriedades
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano com produto interno h,i. S˜ao v´alidas
as seguintes propriedades:
1. T : V → V ´e ortogonal se, e somente se, preserva o produto interno, isto
´e, se, e somente se,
hT(u), T(v)i = hu, vi
para todos u, v ∈ V .
2. Se T, S : V → V s˜ao ortogonais, ent˜ao T ◦ S : V → V ´e ortogonal.
3. Seja B = {w1, w2, . . . , wn} ´e uma base ortonormal de V . T : S → V ´e
ortogonal se, e somente se, B0 = {T(w1), T(w2), . . . , T(wn)} ´e uma base
ortonormal de V .
4. Seja B uma base ortonormal de V . T : V → V ´e um operador ortogonal
se, e somente se, a matriz [T] de T com rela¸c˜ao `a base B ´e uma matriz
ortogonal.
Propriedade
Se V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita com produto interno e B e B0
s˜ao bases ortonormais de V , ent˜ao a matriz de mudan¸ca de base [I]
B
B0 ´e uma
matriz ortogonal.
Exemplo 4
Seja T : R
3 → R
3 a transforma¸c˜ao linear dada por
T(x, y, z) = (x + y + z, x − y + z, 2x + 2y − 3z).
Determine a matriz de T na base V = {v1, v2, v3}, onde v1 = √
1
3
(1, 1, 1),v2 =
√
1
2
(1, −1, 0) e v3 = √
1
6
(1, 1, −2).
Operadores Sim´etricos
Defini¸c˜ao
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano. Dizemos que o operador T : V → V
´e sim´etrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal B de V ´e
sim´etrica, isto ´e, se
[T]
t
B = [T]B.
Observa¸c˜oes
1. Pode-se demonstrar que a defini¸c˜ao acima independe da base ortonormal
escolhida.
2. Um operador sim´etrico ´e tamb´em denominado operador autoadjunto.
Exemplo 1
O operador linear T : R
2 → R
2 dado por T(x, y) = (3x + 2y, 2x + 5y) ´e
sim´etrico.
Propriedade
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano. O operador linear T : V → V ´e
sim´etrico se, e s´o se, para quaisquer vetores u, v ∈ V tivermos
hT(u), vi = hu, T(v)i.
6 Autovalores e Autovetores
6.5 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Sim´etricos
Propriedades
Seja T : V → V um operador sim´etrico em um espa¸co vetorial euclidiano de
dimens˜ao n. Valem as seguintes propriedades:
1. A equa¸c˜ao caracter´ıstica de T possui n ra´ızes reais (contadas com multi-
plicidade).
2. Autovetores de T associados a autovalores distintos s˜ao ortogonais.
Propriedade
Se T : R
n → R
n ´e um operados sim´etrico, ent˜ao existe uma uma base
ortonormal B tal que:
1. a matriz de mudan¸ca de base P = [I]
C
B, onde C ´e a base canˆonica de R
n,
´e uma matriz ortogonal;
2. a matriz de T na base B
[T]B = P
t
[T]P
´e uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos que P diagonaliza [T] orto-
gonalmente.
Observa¸c˜ao
Vejamos o procedimento para a obten¸c˜ao da base ortonormal descrita acima:
1. Encontre uma base para cada autoespa¸co de T;
2. Aplique o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Scmidt a cada uma destas
bases e depois normalize.
3. A base procurada ´e a uni˜ao das bases obtidas no passo anterior.
Exemplo 1
Seja T : R
3 → R
3 dado por
T(x, y, z) = (4x + 2y + 2z, 2x + 4y + 2z, 2x + 2y + 4z).
Determine uma base ortonormal B de R
3
tal que [T]B seja diagonal.