Question

Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(3,-2) e a reta r, de equação (r) 2x+ y +6 = 0

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º).

Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. 

A fórmula para calcular essa distância, é dada por:

$\boxed{\sf d = \frac{ | ax_0 + by_0 + c | }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }$

Os elementos a, b e c são os valores dos coeficientes da equação geral da reta, ou seja, os números que se encontram a frente das letras.

$\sf 2x + y + 6 = 0 \\ \begin{cases} \sf a = 2 \\ \sf b = 1 \\ \sf c = 6\end{cases}$

Os elementos Xo e Yo são os valores da abcissa e ordenada do ponto P.

$\boxed{\sf P(3,-2) \rightarrow xo = 3 \: \: \: y = - 2}$

Sabendo desses dados, vamos substituir na fórmula:

$\sf d = \frac{|ax_0 + by_0 + c | }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } \\ \\ \sf d = \frac{ |2.3 + 1. ( - 2) + 6| }{ \sqrt{2 {}^{2} + 1 {}^{2} } } \\ \\ \sf d = \frac{ |6 - 2 + 6| }{ \sqrt{4 + 1} } \\ \\ \sf d = \frac{ |12 - 2| }{ \sqrt{5} } \\ \\ \sf d = \frac{ |10| }{ \sqrt{5} } \\ \\ \sf d = \frac{10}{ \sqrt{5} } . \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } \\ \\ \sf d = \frac{10 \sqrt{5} }{ \sqrt{25} } \\ \\ \sf d = \frac{10 \sqrt{5} }{5} \\ \\ \boxed{ \sf d = 2 \sqrt{5} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️