Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a=13 e b=5.
Determine.
a) A equação da elipse;
c) Os focos da elipse;
d) O valor de k para que o ponto P (5; k) do primeiro quadrante, pertença a elipse;
e) A soma das distâncias de P aos focos da elipse.
Respostas
a) x²/169 + y²/25 = 1
c) F₁ F₂
d) 60/13
e) 26 u.m
O que é uma elipse?
Uma elipse é um tipo especial de conjunto de pontos obtido através da intersecção de um plano com uma superfície cônica. Lembre-se de que uma superfície cônica é aquela obtida ao rotacionar uma reta geratriz em torno de um eixo.
Quando o plano não é paralelo à reta geratriz da superfície cônica e corta uma folha, então é formada uma elipse, que possui os seguintes elementos:
- Foco.
- Distância focal.
- Centro.
- Eixo maior.
- Eixo menor.
Outra característica importante das elipses é que a soma das distâncias de um ponto seu aos dois focos é sempre constante e vale 2.a.
Como resolver a questão?
a) Sabemos que a = 13 e b = 5, ou seja, o eixo maior está no eixo x. Além disso,
a² = b² + c²
13² = 5² + c²
169 - 25 = c²
c² = 144 => c = 12
Assim, a equação pode ser representada por:
x²/a² + y²/b² = 1
Logo,
x²/169 + y²/25 = 1
c) O foco da elipse centrada na origem e com o eixo maior no eixo x é F₁ = (-c,0) e F₂ = (c,0).
Logo, F₁ = (-12,0) e F₂ = (12,0)
d) Para que o ponto P = (5,k) pertença, ele deve satisfazer a equação reduzida dessa elipse.
x²/169 + y²/25 = 1
5²/169 + k²/25 = 1
(k/5)²= 1-25/169
(k/5)² = 144/169
k/5 = ± 12/13
k = 60/13
Lembre-se de que k deve ser positivo para que P esteja no 1° quadrante.
e) A soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é sempre constante a 2.a, portanto:
D = 2.a
D = 2.13 = 26 unidades de medida.
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