Question

Dá-se uma folha quadrada de cartolina quadrada, cujo lado mede 24 cm.
Tira-se nos quatro cantos( vértices) um quadrado de lado x cm. Qual o
valor de x de modo que o volume do sólido formado seja máximo?

Answer 1

Olá, Cida.

Conforme demonstrado na figura em anexo, corta-se os quadrados de lado $x$ nos vértices e dobra-se nas linhas vermelhas. Com as dobras voltadas para baixo, ficamos com um paralelepípedo cuja base é um quadrado de lado $24-2x$ e altura $x$.

O volume deste sólido é dado, portanto, por:

$V(x)=x(24-2x)^2=x(576-96x+4x^2)=576x-96x^2+4x^3$

Os pontos críticos da função $V(x)$ são tais que:

$V'(x)=0\Rightarrow 576-192x+12x^2=0\Rightarrow x=4\text{ ou }x=12$

Encontramos, portanto, dois valores de $x$ que anulam a primeira derivada. Podem ser máximos ou mínimos da função $V(x)$. Para saber se são mínimos ou máximos, devemos investigar a segunda derivada nestes pontos:

$V''(x)=-192+24x=0\Rightarrow\begin{cases}V''(4)=-96<0\\\\V''(12)=96>0\end{cases}$

Como $V''(4)<0$, temos que $x=4$ é um máximo.

Portanto, o valor de x que maximiza o volume do sólido formado é:

$\boxed{x=4\,cm}$