Question

1 – Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco, formado pelo arame, determina na polia?

a) 80º

b) 90º

c) 100º

d) 110º

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Answer 1

Resposta:

80°

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Utilizando formulações de arco de circunferência e regra de três, obtemos que este angulo vale 80º, letra A.

Explicação passo-a-passo:

Existem diversas formas de se calcular isto, vou começar utilizando o metodo dos arcos e depois vou fazer um metodo mais simples.

Sabemos que em qualquer circunferência de raio R, o tamanho de um arco S (pedaço da circunferência relativa a um angulo central) é calculado pela formula:

$S=\frac{R\times \theta \pi}{180}$

Onde neste caso θ é o angulo central relativo e o resultado desta expressão é em graus (º).

Mas primeiro vamos descobrir qual o comprimento do aro menor completo, dado pela formula:

$C = 2 . \pi . R$

$C = 2 . \pi . 4$

$C = 4\pi$

Assim sabemos que como estes 4π cm é um pedaço de arco, pois está sobre a circunferência maior, então ele pode ser substituído em S, e sabemos também o raio R que vale 9 cm, com isso:

$S=\frac{R\times \theta \pi}{180}$

$4\pi=\frac{9\times \theta \pi}{180}$

$4\times 180=9\times \theta$

$720=9\times \theta$

$\theta = \frac{720}{9}$

$\theta = 80$

E assim temos que este angulo vale 80º.

Metodo Alternativo:

Agora podemos fazer de uma forma mais simples, que é simplesmente calcular a circunferência dos dois circulos:

$C_1 = 2 . \pi . R = 2 . \pi . 2 = 4\pi$

$C_2 = 2 . \pi . R = 2 . \pi . 9 = 18\pi$

E como sabemos que o circulo maior é o total de 360º, podemos chamar o comprimento menor de x e fazermos um regra de três

18π    ->    360º

4π     ->       xº

Multiplicando cruzado:

$4\pi  \times 360=18\pi \times x$

$720=18x$

$x = \frac{1440}{18}$

$x = 80$

Assim utilizando formulações de arco de circunferências, obtemos que este angulo vale 80º, letra A.

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