Question

Simplifique a expressão trigonométrica E= sen(3a)/sen a - cos(3a)/cos a

Answer 1

Boa tarde Bellllsribeiro!

Para se resolver essa expressão tem que ter um conhecimento das relações trigonométricas básicas,e arcos duplo e arcos triplo,pois como se vê temos um arco triplo.

Sendo a expressão

$E= \dfrac{sen(3a)}{sen(a)}- \dfrac{cos(3a)}{cos(a)}$

Primeira relação trigonométrica que vamos precisar,a mesma pode ser escrita de formas diferentes.

$seno^{2}a+cosseno^{2}a=1$

$seno^{2}a=1-cosseno^{2}a$

$cosseno^{2}a=1-seno^{2}$

No segundo momento vamos fazer uso das formulas de adição e subtração de arcos que são essas.

$sen(a + b) = sen (a) . cos (b) + sen (b) . cos (a)$

$cos(a - b) = sen(a) . cos(b) - sen(b) . cos(a)$

Vamos agora encontrar as relações equivalentes ao seno(3A) e cosseno de (3B)

$Sen(3a)=Sen(2a+a)$

Vou colocar na formula do arco da adição ficando assim.

$Sen(2a).cos(a)+cos(2a).sen(a)=$

$2sen(a).cos^{2}+(1-2)sen^{2}a.sen(a)=$

$2.sen(a).(1-sen^{2}a)+(1-2sen^{2}a).sen(a)=$

$2sen(a)-2sen^{3} a+sen(a)-2sen^{3}$

Juntando os termos semelhantes fica.

$2sen(a)+sen(a)-2sen^{3}a-2sen^{3}a$

$3sen(a)-4sen^{3}a=Sen(3a)$

Vamos fazer a mesma coisa para o cosseno de (3a)

$Cosseno(3a)=cosseno(2a+a)$

Vou substituir na formula da subtração de arcos ficando assim.

$Cos(2a).Cos(a)-Sen(2a).sen(a)=$

$(2cos^{2}-1).cos(a)-2Sen^{2}.cos(a)=$

$(2cos^{2}-1 ).cos(a)-2cos(a).(1-cos^{2}a)$

$2cos^{3}a-cos(a)-2cos(a)+2cos^{3}$

Juntando os termos semelhantes resulta

$2cos^{a}+ 2cos^{a}-cos(a)-2cos(a)$

$4cos^{3}a-3cos(a)=cos(3a)$

Sabendo o valor de sen(3a) e cosseno de(3a),vamos agora substituir esses valos na expressão.

$E= \dfrac{sen(3a)}{sen(a)}- \dfrac{cos(3a)}{cos(a)}$

$E= \dfrac{3sen(a)-4sen^{3}a}{sen(a)}- \dfrac{4cos^{3}a-3cos(a)}{cos(a)}$

Vamos agora colocar seno e cosseno em evidencia.

$E= \dfrac{sen(a)[3-4sen^{2}a] }{sen(a)}- \dfrac{cos(a)[4cos^{2}a-3] }{cos(a)}$

$E= \dfrac{sen(a)[3-4sen^{2}a] }{sen(a)}- \dfrac{cos(a)[4cos^{2}a-3] }{cos(a)}$

Agora que cancelamos os denominadores vamos achar o valor numerico fazendo uso da primeira relação fazendo a substituição.

$E= [3-4sen^{2}a]-[cos^{2}a-3]$

Lembre-se
$Sen^{2}a=1-cos^{2}$

$E=[3-4(1-cos^{2}a]-[4cos^{2}a-3]$

Vamos multiplicar ao sinais.

$E=3-4+4cos^{2} -4cos^{2}+3$

$E=3+3-4+4cos^{2}-4cos^{2}$

$E=6-4$

$E=2$

$\boxed{E= \dfrac{sen(3a)}{sen(a)}- \dfrac{cos(3a)}{cos(a)}\Rightarrow E=2}$

Boa tarde!
Bons estudos!