Question

Ajuda!!! Se possível, explicar passo a passo.

sen x ≤ sen 2x

Answer 1

$\mathrm{sen\,}x \leq \mathrm{sen\,}2x\\ \\ \mathrm{sen\,}x - \mathrm{sen\,}2x\leq 0\\ \\ \mathrm{sen\,}x - 2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x\leq 0\\ \\ \mathrm{sen\,}x\cdot \left(1-2\cdot \cos x \right)\leq 0$


Temos agora uma inequação-produto. Para que o produto do lado esquerdo da desigualdade seja menor ou igual a zero (não-positivo), temos duas possibilidades:


$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x\geq 0\;\text{ e }\;1-2\cdot \cos x\leq 0\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x\geq 0\\ \\ 0 +k\cdot 2\pi\leq x \leq \pi+k\cdot 2\pi\\ \\ \\ 1-2\cdot \cos x\leq 0\\ \\ 2\cdot \cos x\geq 1\\ \\ \cos x\geq \dfrac{1}{2}\\ \\ -\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi$


Fazendo a interseção dos intervalos, chegamos a

$0+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi$

onde $k$ é um número inteiro.


$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x\leq 0\;\text{ e }\;1-2\cdot \cos x\geq 0\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x\leq 0\\ \\ \pi+k\cdot 2\pi \leq x \leq 2\pi+k\cdot 2\pi\\ \\ \\ 1-2\cdot \cos x\geq 0\\ \\ 2\cdot \cos x \leq 1\\ \\ \cos x \leq \dfrac{1}{2}\\ \\ \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{5\pi}{3}+k\cdot 2\pi$



Fazendo a interseção dos intervalos, chegamos a

$\pi+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{5\pi}{3}+k\cdot 2\pi$


Logo, o conjunto-solução dessa inequação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,0+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\,\text{ ou }\,\pi+k\cdot 2\pi\leq x \leq \dfrac{5\pi}{3}+k\cdot 2\pi,\right. \right.\\ \\ \left. k \in \mathbb{Z}\right \}$