6 (OBM) O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:
{a+b=c²
{a+b+c= 30
a) 45
b) 23
c) 24
d) 25
e) 72
Me ajudem!! Preciso da resolução!!!!!!
Respostas
Introdução:
- O que é uma equação do segundo grau?
Pode-se definir uma equação do segundo grau como uma equação que possui uma incógnita com grau 2.
- Como resolver uma equação do segundo grau?
Em geral, a Fórmula de Bhaskara é a mais utilizada, porém existe outras formas. Por exemplo, Soma e Produto, Método de Viète e etc.
- Quando uma equação do segundo grau não possui raízes reais?
Quando o delta, derivado da fórmula de Bhaskara, podemos analisá-lo para verificarmos se ele é positivo ou negativo. Caso negativo, não possui raízes reais.
Resposta:
Temos o seguinte sistema.
a + b = c²
a + b + c = 30
Podemos substituir o valor de ( a + b ) da primeira equação na segunda.
c² + c = 30
c² + c - 30 = 0
Agora, podemos descobrir o valor de "c" por Bhaskara.
- Por Bhaskara
∆ = b² - 4ac
-b ± √∆ × 1/2a
Em nossa equação:
a = 1
b = 1
c = -30
∆ = (1)² - 4 × 1 × (-30)
∆ = 1 +120
∆ = 121
-(1) ± √121 × 1/2
1 ± √11² × 1/2
1 ± 11 × 1/2
c' = -1 + 11 × 1/2
c' = 10/2
c' = 5
c" = 1 - 11 × 1/2
c" = -10/2
c " = -5 <- Essa raiz não servirá, pois o enunciado pede valores positivos. Logo, c = 6
Substituindo o valor de 6 nas equações.
a + b = 5²
a + b + 5 = 30
a + b = 25
a + b = 25
Agora basta analisar.
Podemos ter as segundas relações.
Quando:
a = 1
b = 24
a = 2
b = 23
a = 3
b = 22
a = 4
b = 21
a = 5
b = 20
a = 6
b = 19
a = 7
b = 18
a = 8
b = 17
a = 9
b = 16
a = 10
b = 15
a = 11
b = 14
a = 12
b = 13
A partir daqui começará a repetir com o valor de "b". então podemos apenas multiplicar o valor possíveis de soluções para "a" e "b" por 2.
São 12.
12 × 2 = 24 soluções inteiras possíveis.
Letra c) 24.
Aprenda mais:
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