Question

Determine as raízes é as vértices da parábola gerada pela função.

A, F(x)=-2x²+6x+8

Qual a resposta?

Answer 1

Determinação das Raízes  

    $f(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -2x^2+6x+8=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -x^2+3x+4=0$

Cálculos Auxiliares

    $x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times(-1)\times4}}{2\times(-1)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\times(-4)}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm5}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3-5}{-2}\;\vee\;x=\frac{-3+5}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-8}{-2}\;\vee\;x=\frac{2}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=4\;\vee\;x=-1$

Logo,  $f(x)=0$  quando  $x\in\{-1\;;\;4\}$

Determinação dos Vértices  

$f'(x)=(-2x^2)'+(6x)'+(8)'=-4x+6+0=-4x+6$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow$                     $f(\frac{3}{2})=-2\times(\frac{3}{2})^2+6\times\frac{3}{2}+8\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4x+6=0\Leftrightarrow$           $\Leftrightarrow f(\frac{3}{2})=-2\times\frac{9}{4}+\frac{18}{2}+\frac{16}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4x=-6\Leftrightarrow$              $\Leftrightarrow f(\frac{3}{2})=-\frac{9}{2}+\frac{34}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{-6}{-4}\Leftrightarrow$                   $\Leftrightarrow f(\frac{3}{2})=\frac{25}{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

   $x\;\;\;\;\;\;\:|-\infty\;\;\;\;\;\;\;|\:\frac{3}{2}\:|\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$

$f'(x)\;\;\;\;\;|\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;|\:0\:|\;\;\;\;\;\;\;\;\;-$

$f(x)\:\;\;\;\;\;|\;\;\;\;\nearrow\;\;\;\;|Max|\;\;\;\;\searrow$            

f é crescente em  $]-\infty\;;\;\frac{3}{2}[$  e  decrescente em  $]\frac{3}{2}\;;\;+\infty[$

f possui um máximo em  $x=\frac{3}{2}$  de imagem  $\frac{25}{2}$

Logo o gráfico de f apresenta 1 único vértice, de coordenadas $(\frac{3}{2}\;;\;\frac{25}{2})$