POR FAVOR AJUDA PELO AMOR DE DEUS
Uma função f de variável real satislaz a condição F(x+1)= f(x) + f(1)
qualquer que seja e valor da variável x. Sabendo que F(2)=1, determine o valor de F(5)
Respostas
Explicação passo-a-passo:
Olá!
Para este exercício, podemos atribuir valores de X e verificar um determinado padrão ou "melhorar" a função dada. Eu vou usar a segunda opção, a de "melhorar" a função dada.
Vamos atribuir valores para x para observar o comportamento da equação funcional.
f(x+1) = f(x) + f(1)
Quando x recebe x-1, ou seja, x = x-1, a função fica:
f( (x-1) + 1) = f(x-1) + f(1)
f(x) = f(x-1) + f(1)
Consegue perceber algum padrão? Espero que tenha percebido que a função acima tem o formato de uma Progressão Aritmética (PA), pois a cada termo f(x), somamos uma constante f(1) com o termo f(x-1).
Seria como se tivéssemos:
f(x) = an
f(x-1) = an-1
f(1) = r (razão da PA)
f(x) = f(x-1) + f(1)
an = an-1 + R
Com isso, basta buscarmos termos que nos ajudem a resolver a PA.
Como o enunciado forneceu f(2) = 1, uma boa estratégia seria substituir x = 2 na função encontrada.
f(x) = f(x-1) + f(1)
f(2) = f(2-1) + f(1)
f(2) = f(1) + f(1)
f(2) = 2.f(1)
1 = 2.f(1)
f(1) = 1/2
Assim, sabemos que temos uma Progressão Aritmética de razão 1/2 e de primeiro termo 1/2 também.
Montando o termo geral da PA:
an = a1 + (n-1).R
an = 1/2 + (n-1).1/2
an = [ 1 + (n-1)]/2
an = n/2
Como an = f(x), podemos simplificar a função, deixando-a MUITO mais fácil.
an = n/2
f(x) = x/2
Agora, basta substituir o valor que quisermos na função.
Para x = 5 (pedido pelo enunciado):
f(5) = 5/2