Question

A temperatura de determinada localidade varia periodicamente, com em geral, ocorrem em muitos lugares durante certas épocas do ano. Ao observar e anotar os valores de temperatura dia a dia em um determinado local percebe-se que é possível modelar a variação por meio da seguinte função trigonométrica
(veja imagem anexa)

Considerando que esse modelo matemático, nos fornece a temperatura em Fahrenheit, qual será a temperatura em graus Celsius, aproximadamente, transcorridos 221 dias a partir de 1º de janeiro?

Answer 1

Vamos lembrar de umas propriedades :

1) redução ao primeiro quadrante Seno

$Sen(\pi -x) = Sen(x)$

onde :

$\pi = 180^{\circ}$

2) Relação de temperatura entre Celsius em Fahrenheit

$\fbox{\displaystyle \frac{TC}{5} = \frac{TF-32}{9} }$

onde :

$TC =$ temperatura em celsius

$TF =$ temperatura em fahrenheit

Temos a seguinte expressão :

$\fbox{\displaystyle T = 50.Sen(\frac{2\pi.(t-101)}{360}) + 7 }$

onde :

$T =$ temperatura em fahrenheit

$t =$ dias transcorridos.

(A questão não informa o valor $\pi$, mas Já que se trata de função trigonométrica vou considerar $\pi = 180^{\circ}$, pois é a notação em radianos.)

O enunciado pede a temperatura em celsius, quando $t = 221$. Então vamos substituir na equação da temperatura em fahrenheit e depois passamos para Celsius, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle T = 50.Sen(\frac{2\pi.(221-101)}{360}) + 7 \to T = 50.Sen(120) + 7 }$

o $2\pi = 360$, note que simplificou com o 360 do denominador.

Sabendo que :

$\fox{\displaystyle Sen(120) = Sen(180-60) = Sen(60)$

vamos substituir na equação ficando assim :

$\fbox{\displaystyle T = 50.Sen(60) + 7 }$

lembrando que:

$\displaystyle Sen(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

vamos substituir na equação, ficando :

$\fbox{\displaystyle T = 50.\frac{\sqrt{3}}{2} + 7 }$

adotando $\sqrt{3} \approx 1,732$, temos que :

$\fbox{\displaystyle T = 50.\frac{1,732}{2} + 7 \to T = \frac{86,6}{2} + 7 \to T = 50,3 }$

Então $T = 50,3$ quanto $t = 221$, porém essa é a temperatura em fahrenheit.

Vamos passa-la para Celsius

$\fbox{\displaystyle \frac{TC}{5} = \frac{TF-32}{9} }$

substituindo TF = 50,3

$\fbox{\displaystyle \frac{TC}{5} = \frac{50,3-32}{9}\to \frac{TC}{5} = \frac{18,3}{9 } }$

$\fbox{\displaystyle \frac{TC}{5} = \frac{18,3}{9} \to TC = 5.( 2,033) \to TC = 10,16^{\circ}C }$