Question

Considere a função f(x) = 2x² + 1, para x ≥ a 0. Sendo g a função inversa de f, então, pode-se afirmar que o número real g (f (6)) + f (g (6)) pertence ao intervalo:
a) [0, 4]
b) [4, 13]
c) [20, 36]
d) [36, 73]

Answer 1

Para calcular a função inversa de f(x) = 2x² + 1, para fazer isso trocamos x por y e isolamos y novamente.

y = 2x² + 1  → x = 2y² + 1

Assim:

$-2y^2 = - x + 1\\\\y^2 = \dfrac{-x+1}{-2}\\\\y = \sqrt{\dfrac{x-1}{2}}$

$g(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{2}}$

Agora realizando as funções compostas:

Primeiro as de dentro:

$f(6) = 2.6^2+1\\f(6) = 73\\\\\\g(6)=\sqrt{\dfrac{6-1}{2}}\\\\\\g(6) = \sqrt{\dfrac{5}{2}}$

Agora colocamos os resultados encontrados na função de fora.

$f(g(6)) = 2\cdot \left(\sqrt{\dfrac52}\right)^2 + 1\\\\\\f(g(6)) = 5+ 1 = 6$

$g(f(6)) = \sqrt{\dfrac{73+1}{2}} = \sqrt37 \approx 6,08$

6 + 6,08 = 12,08

Resposta: Letra B

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