Question

Um caixote pesando 50N,em repouso sobre um plano inclinado de 30°

em relação à horizontal. Entre o caixote e o plano inclinado, o coeficiente de atrito

estático é 0,2 e o cinético é 0,1. Sabe-se que, em seguida, uma força paralela ao

plano inclinado é aplicada no caixote, conforme indica a figura acima, e tem

intensidade igual a 36N.


1-Qual a força normal do objeto?




2-A força de atrito estático máximo e a força de atrito cinético entre o

caixote e o plano inclinado.



3-A partir das forças calculadas, o caixote irá subir, descer ou permanecer

em repouso? Justifique

Answer 1

Dinâmica.

Se decompusermos as forças em relação ao plano inclinado, vamos ter o seguinte :

$\fbox{\displaystyle P_x = P.Sen(\theta) }$

$\fbox{\displaystyle P_y = P.Cos(\theta) }$

onde :

$P_x =$ peso em x.

$P_y =$ peso em y.

A questão fala sobre Forças de atrito, vamos relembrar.

Força de atrito estático:

É a força que atua no corpo, impossibilitando que ele se mova. Ela é dada por :

$\fbox {\displaystyle Fat_e = \mu_e.N }$

Força de atrito cinético ( ou dinâmico ):

É a força que atua no corpo em oposição ao sentido que eles tá se movendo, dificultando seu deslocamento. Dada por :

$\fbox {\displaystyle Fat_c = \mu_c.N }$

Onde :

$Fat_e =$ força de atrito estático

$Fat_c =$ força de atrito cinético ( ou dinâmico )

$\mu_e =$ coeficiente de atrito estático

$\mu_c =$  coeficiente de atrito cinético.

$N =$ força normal ( força que o superfície faz no corpo)

De forma resumida, a diferença entre elas :

Fat estático impede o corpo de se mover.

Fat cinético dificulta o movimento, mas o corpo se desloca.  

Quando há atrito no plano inclinado :

Quando há atrito, no plano inclinado montamos a conta da força resultante da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle F_r = F - Fat - P_x }$

As forças que estão para cima(subindo o plano)  menos as forças que está para baixo ( descendo o plano) é igual  a força resultante.

onde :

$\fbox{\displaystyle F_r = m.a }$

(massa vezes aceleração )

Questão

O enunciado nos informa o seguinte :

$P = 50N$

$\theta = 30^{\circ}$

$\mu_e = 0,2$

$\mu_c =0,1$

$F = 36N$

Item 1

Qual a força normal do objeto ?

Na vertical não há movimento, então as forças na vertical se alunam.. Portanto podemos afirmar que :

$\fbox{\displaystyle P_y -N = 0 \to P_y = N }$

Substituindo ${\displaystyle P_y = P.Cos(\theta)$ :

$\fbox{\displaystyle P.Cos(30^{\circ}) = N }$

sabendo que $Cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, vamos substituir os respectivos valores  :

$\fbox{\displaystyle 50.\frac{\sqrt{3}}{2} = N \to N = 25\sqrt{3} }$

se quiser aproximar $\sqrt{3} = 1,73$, temos que :

$\fbox{\displaystyle N = 50.1,73 \to N = 86,5 }$

Item 2

Força de atrito estático máximo :

$\fbox {\displaystyle Fat_e = \mu_e.N }$

substituindo os respectivos valore

$\fbox {\displaystyle Fat_e = 0,2.25.\sqrt{3} \to Fat_e = 5\sqrt{3} N }$

aproximando $\sqrt{3} = 1,73$ :

$\fbox {\displaystyle Fat_e = 5.1,73 \to Fat_e = 8,65 N }$

Portanto a força de atrito estático máximo é :

$\fbox{\displaystyle Fat_e = 5\sqrt{3}N }$ ou $\fbox {\displaystyle Fat_e = 8,65N }$

Força de atrito cinético :

$\fbox {\displaystyle Fat_c = \mu_c.N }$

substituindo os valores :

$\fbox {\displaystyle Fat_c = 0,1.25\sqrt{3} \to Fat_c = 2,5\sqrt{3} }$

aproximando $\sqrt{3} = 1,73$

$\fbox {\displaystyle Fat_c = 2,5.1,73 \to Fat_c \approx 4,32 }$

Portanto a força de atrito cinético é :

$\fbox {\displaystyle Fat_c = 2,5\sqrt{3} N }$ ou $\fbox {\displaystyle Fat_c \approx 4,32 N }$

Observação :

Eu aproximei $\sqrt{3} = 1,73$, porque não sei que tipo de resposta a questão espera, Se for uma questão aberta.. você pode dar as duas respostas como eu fiz.  

item 3

Como saber se o bloco está em movimento ou se está em repouso ?

Se as forças que estiverem para baixo forem maior que as forças que está para cima ( subindo o plano inclinado ), então o bloco está em repouso.

1º Vamos ignorar a força F ( por enquanto)  e analisar se o bloco se move sem ela.

Para saber isso, temos que observar se

$\fbox{\displaystyle Fat_e - P_x = 0 }$  

substituindo os valores :

$\fbox{\displaystyle 8,65 - P.Sen(30^{\circ}) = 0 }$

$\fbox{\displaystyle 8,65 - 50.\frac{1}{2} = 0 \to 8,65 - 25 = 0 }$

então

$\fbox{\displaystyle 8,65 = 25 }$ ( ABSURDO )

Se a o peso em x é maior que a força de atrito estático, logo o bloco desce o plano.

Agora que sabemos que sem a força F, o bloco está descendo o plano. Vamos observar o que acontece com a força F em ação.

Se o bloco está em movimento usamos a força de atrito cinético $Fat_e$. Usando a mesma ideia da conta anterior vamos analisar se

$\fbox{\displaystyle F > Fat_e + P_x }$  

Se isso acontecer, o bloco está em movimento subindo.

Se $F = Fat_e + P_x$  o bloco está em repouso

Substituindo os valores

$\fbox{\displaystyle F > Fat_e + P_x }$  

$\fbox{\displaystyle 36 > 4,32 + 50.\frac{1}{2} \to 36 > 4,32 + 25 \to 36 > 29,32 }$ (VERDADE)

Logo o bloco está subindo o plano.

(imagem para melhor compreensão das forças atuantes)