Question

A partir do estudo do sinal identifique o intervalo no qual se localiza a raiz positiva real da função f(x) = ln(x) + x² - 13

A)
I = [5, 6]

B)
I = [1, 2]

C)
I = [4, 5]

D)
I = [2, 3]

E)
I = [3, 4]

Answer 1

Sabemos que a função f(x) = ln(x) + x² - 13 é crescente, pois x² e sempre um número positivo e ln(x) é também crescente. Se temos dois números a e b tais que a < b e a > 0, temos que:

log a < log b pois log x é uma função crescente e a² < b²  pois ambos são positivos.

O domínio da nossa função é D = {x > 0} e ela possui apenas uma raiz, ou seja, toca  eixo x apenas uma vez.

Vamos então atribuir valores a x e tentar estimar onde está a raiz. Observe que:

f(1) = ln 1 + 1 - 13 = ln 1 - 12 → o resultado é um número menor que zero.

f(4) = ln 4 + 16 - 13 = ln 4 + 3 → o resultado é um número maior que zero.

Ou seja, em algum momento o gráfico cruzou o eixo x, logo a raiz está entre 1 e 4. Podemos aproximar ainda mais atribuindo outros valores a x.

f(2) = ln 2 + 4 - 13 = ln 2 - 11 → o resultado é um número menor que zero.

f(3) = ln 3 + 9 - 13 = ln 3 - 4 → o resultado é um número menor que zero.

Sabemos então que

f(3) < 0 e f(4) > 0

A raiz esta entre 3 e 4.

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