Question

me ajudem urgente

Dada a função f(x) = x² + 3, qual o valor da expressão f (x + h ) – f (x) / h ?

Answer 1

Vamos relembrar a derivada pela definição.

Tendo uma função qualquer $f(x)$, a derivada dessa função pela definição da derivada, será dada por :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{f(x+h) - f(x)}{h } }$  

sabendo disso, vamos para a questão.

Temos a seguinte função :

$\fbox{\displaystyle f(x) = x^2 + 3 }$

A questão  pede a derivada pela definição, então :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{f(x+h) - f(x)}{h } }$  

vamos calcular o $f(x+h)$ e depois substituir.

$\fbox{\displaystyle f(x+h) = (x+h)^2 + 3 }$  

ou seja :

$\fbox{\displaystyle f(x+h) = (x+h)^2 + 3 \to x^2 + 2.x.h + h^2 + 3 }$

substituindo no limite :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{x^2+2.x.h + h^2 + 3 - (x^2+3)}{h} }$  

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{x^2+2.x.h + h^2 + 3 - x^2-3}{h} }$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{2.x.h + h^2 }{h} }$

colocando o h em evidência

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0 } \frac{h(2.x. + h) }{h} \to f'(x) = \lim_{h \to \ 0} 2x + h }$

agora substitui h = 0

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0} 2x + h \to f'(x) = 2.x + 0 }$

Portanto:

A derivada da função $f(x)$ vale $\fbox{\displaystyle f'(x) = 2.x }$  

Answer 2

Resposta:

2x + h

Explicação passo-a-passo: Muitas pessoas estão admitindo que h tende a 0, fazendo com que a expressão, de fato, seja uma derivada. Contudo, não é possível garantir que h tende à 0. Dessa forma, devemos fazer essa solução:

Como para todo X, a função f(x) = x² + 3 é válida, nós podemos associar f(x+h) a essa mesma função, em que x+h seja a variável. Dessa forma, temos a expressão na imagem.

Caso h tendesse à 0, a resposta seria 2x, que é realmente a derivada da função f(x). Mas como disse anteriormente, não há essa garantia!