Question

Na figura o perímetro do triangulo BCD é?

Answer 1

Podemos fazer de duas formas.

1ª forma de resolver

Primeiros vamos encontrar o ultimo ângulo que falta, do triângulo BCD.

$45^{\circ} + 90^{\circ} + \widehat{B} = 180^{\circ}$

$135^{\circ} + \widehat{B} = 180^{\circ}$

$\widehat{B} = 180^{\circ} - 135^{\circ} \to \widehat{B} = 45^{\circ}$

Podemos fazer o Seno do ângulo $\widehat{B}$  e achar CD. Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle Sen(45^{\circ}) = \frac{CD}{CB } }$

Substituindo o que já temos :

$\fbox{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{CD}{2 } \to CD = \frac{2.\sqrt{2}}{2} \to CD = \sqrt{2} }$

Podemos achar BD usando pitágoras, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle BD^2 + CD^2 = CB^2 }$

$\fbox{\displaystyle BD^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2 \to BD^2+ 2 = 4 \to BD^2 = 4 - 2 \to BD = \sqrt{2} }$

Agora podemos calcular o perímetro $(2P)$ do triângulo BCD:

$\fbox{\displaystyle 2P = BD + CD + CB }$  

$\fbox{\displaystyle 2P = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 \to 2P = 2.\sqrt{2} + 2 }$

só colocando o 2 em evidência :

$\fbox{\displaystyle 2P = 2.(\sqrt{2} + 1) }$

Letra

2ª forma de resolver

vamos encontrar o ultimo ângulo que falta, do triângulo BCD.

$45^{\circ} + 90^{\circ} + \widehat{B} = 180^{\circ}$

$135^{\circ} + \widehat{B} = 180^{\circ}$

$\widehat{B} = 180^{\circ} - 135^{\circ} \to \widehat{B} = 45^{\circ}$

Agora note que o triângulo BCD tem dois ângulos de $45^{\circ}$ e um ângulo de $90^{\circ}$, logo concluímos que se trata da metade de um quadrado ( cortado na diagonal).

Sabendo que a diagonal de um quadrado pode ser calculado por :

$D = L.\sqrt{2}$  

onde : L = lado do quadrado. ( no caso L são os lados  BD e CD )

Então vamos fazer isso. Sendo CB a diagonal, vamos igualar da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle L.\sqrt{2} = 2 }$

ou seja :

$\fbox{\displaystyle L.\sqrt{2} = 2 \to L = \frac{2}{\sqrt{2}} \to L = \sqrt{2} }$

( só racionalizei )

Então já temos tudo o que precisamos para calcular o perímetro $(2P)$ do triângulo BCD.

$\fbox{\displaystyle 2P = BD + CD + CB }$  

$\fbox{\displaystyle 2P = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 \to 2P = 2.\sqrt{2} + 2 }$

$\fbox{\displaystyle 2P = 2.(\sqrt{2} + 1) }$

letra a  

Comentário ;

Em relação ao tempo, a 2ª forma é mais rápida.. porém você teria que ter essa visão que ali é a diagonal de um quadrado.