Question

Sobre números complexos:
Encontre as raízes sextas de 64i e represente-as no plano cartesiano, destacando o polígono.
Agradeço desde já!!

Answer 1

Para achar as raízes primeiro precisamos transformar os números complexos para a forma trigonométrica. Sabemos que se $z = a + bi$, a sua forma trigonométrica é:

$z = \rho (cos \theta + isen \theta)$

Onde $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$

Então se z = 64i

$\rho = \sqrt{0^2 + 64^2} \\\\\rho = \sqrt{64^2} = 64$

Para descobrir o ângulo $\theta$ fazemos:

$sen \ \theta = \dfrac{b}{\rho} = \dfrac{0}{64} = 1\\\\cos \ \theta = \dfrac{a}{\rho} = \dfrac{0}{64} = 0$

Assim $\theta = 90$.

As raízes de índice n de um número complexo são dadas pela fórmula de Moivre:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \left( cos \ \dfrac{\theta+2k\pi}{n}+ i\cdot sen \ \dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right) ; k \in {0, 1, 2 \cdots n-1}$

Assim as raízes sextas de 64i são determinadas por:

$\sqrt[6]{64i} = \sqrt[6]{64} \left( cos \ \dfrac{90+2k\pi}{6}+ i\cdot sen \ \dfrac{90+2k\pi}{6}\right) ; k \in {0, 1, 2 \cdots 5}$

$\sqrt[6]{64i} = 2\left( cos \ \dfrac{90+2k\pi}{6}+ i\cdot sen \ \dfrac{90+2k\pi}{6}\right) ; k \in {0, 1, 2 \cdots 5}$

$\sqrt[6]{64i} = 2 \left( cos \ \dfrac{\pi + 4k\pi}{12} + i \cdot sen \ \dfrac{\pi + 4k\pi}{12} \right)$

E por fim substituímos cada valor de k para encontrar as raízes:

$k=0 \\\\z_0 = 2 \left( cos \ \dfrac{\pi}{12} + i \cdot sen \ \dfrac{\pi}{12} \right)$

$k = 1\\z_1 = 2\left( cos \ \dfrac{5\pi}{12}+ i\cdot sen \ \dfrac{5\pi}{12}\right)$

$k = 2\\\\z_2= 2 \left( cos \ \dfrac{3\pi}{4} + i \cdot sen \ \dfrac{3\pi}{4} \right)$

$k=3\\\\z_3 = 2 \left( cos \ \dfrac{13pi}{12} + i \cdot sen \ \dfrac{13\pi}{12} \right)$

$k=4\\\\z_4= 2 \left( cos \ \dfrac{17\pi}{12} + i \cdot sen \ \dfrac{17\pi}{12} \right)$

$k=5\\\\z_5 = 2 \left( cos \ \dfrac{7\pi}{4} + i \cdot sen \ \dfrac{7\pi}{4} \right)$

O polígono formado é um hexágono, que pode ser encontrado ligando os pontos vermelhos da imagem abaixo.

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