Question

Encontre dois números positivos cujo produto seja 120 e cuja soma seja mínima.

Answer 1

Chamando esses números de x e y, temos que:

$xy = 120$

A soma deles é dada pela função

$S(x) = x + y$

Podemos escrever y em função de x ou o contrário apenas manipulando a primeira equação.

$y = \dfrac{120}{x}$

Agora vamos reescrever a equação da soma com essa substituição:

$S(x) = x + \dfrac{120}{x}$

Para encontrar os valores de máximo ou mínimo devemos verificar os pontos críticos dessa função, para isso iremos derivá-la.

$S'(x) = 1 - \dfrac{120}{x^2}$

E depois igualá-la a zero para encontrar o ponto crítico.

$1 - \dfrac{120}{x^2} = 0\\\\-\dfrac{120}{x^2} = -1\\\\x^2 = 120\\\\x = \sqrt{120}$

$x = \sqrt{4.3.10}\\\\x = 2\sqrt{30}$

Se xy = 120 temos que y vale:

$xy = 120\\\\2y\sqrt{30} = 120\\\\y = \dfrac{120}{2\sqrt{30}}\\\\y = \dfrac{60}{\sqrt{30}} \\\\y = 2\sqrt{30}$

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