Question

determinar função derivada
g(x)= In(sen5x)

Answer 1

Olá, Nicole!

A derivada de g(x)= In(sen5x) é  $\mathsf{\dfrac{5\cos(5x)}{\sin(5x)}}$.

Explicação passo a passo:

Queremos determinar a derivada da função g(x)= In(sen5x).

Vamos aplicar sucessivamente a seguinte regra, chamada Regra da Cadeia:

$\boxed{\mathsf{F(x)=g(f(x))}\implies\mathsf{F'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)}}$

Observe:

$\mathsf{g'(x)=[\ln{(\sin(5x)]'}=}\\\\\mathsf{=\dfrac{1}{\sin(5x)}\cdot[\sin(5x)]'=}\\\\\mathsf{=\dfrac{1}{\sin(5x)}\cdot[\cos (5x) \cdot (5x)']=}\\\\\mathsf{=\dfrac{1}{\sin(5x)}\cdot [\cos (5x) \cdot 5(x)']=}\\\\\mathsf{=\dfrac{1}{\sin(5x)}\cdot [\cos (5x) \cdot 5\cdot 1]=}\\\\\mathsf{=\dfrac{5\cos(5x)}{\sin(5x)}}$

Portanto,  $\boxed{\boxed{\mathsf{g'(x)=\dfrac{5\cos(5x)}{\sin(5x)}}}}$.

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)