Question

Em uma PG de razão 4, o primeiro termo é 2 e o ultimo termo é 2 elevado a 31.
quantos termos tem essa PG?

demonstre os calculos.

Answer 1

Resposta:

16 termos

Explicação passo-a-passo:

Conceito de P.G.

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência em que os termos são multiplicados por uma constante, chamada de razão. Ou seja, um termo é sempre o produto da razão com o termo anterior a ele.

Geralmente, usamos as seguintes notações:

q = razão

a1 = primeiro termo

an = "último termo" ou o termo que queremos descobrir.

Como encontrar a razão

Divida um termo pelo seu anterior.

Exemplo: 3, 9, 27...

razão = 9 / 3 = 3

Fórmula geral de uma P.G.

an = a1 * $q^{n-1}$

Sendo n o número de termos da P.G.

Resolução

dados do problema e adaptações

• q = 4

Podemos escrever 4 como 2², certo?

Logo:

q = 2²

• a1 = 2
• an = 2³¹

Uso da fórmula geral

an = a1 * $q^{n-1}$

2³¹ = 2 *  $(2^{2}) ^{n-1}$

Já vamos passar o 2 dividindo do outro lado:

Nota: propriedade de potência! Lembre que: $(a^{n}) ^{m} = a^{n*m}$

2³¹ / 2 = $2^{2n-2}$

Nota: divisão de potências de mesma base, repete a base e subtrai os expoentes.

$2^{30}$ = $2^{2n-2}$

Como as bases são iguais, concluímos que os expoentes também são:

30 = 2n - 2

30 + 2 = 2n

32 = 2n

n = 16