Question

Simplifique as expressões abaixo:
a) sen (π − x)
b) cos (π − x)
c) tg (π − x)
d) sen (π + x)
e) cos (π + x)
f) tg (π + x)
g) sen (2π − x)
h) cos (2π − x)
i) tg (2π − x)

Answer 1

Resposta:

Calcule:

(a) sen(π−x)−cos(

π

2 −x)−tg(2π−x)

tg(π−x)−cos(2π−x)+sen(

π

2 −x)

(b) cos(90o+x)+cos(180o−x)+cos(3600−x)+3.cos(90o−x)

sen(270o+x)−sen(90o+x)−cos(90o−x)+sen(180o−x)

em fun¸c˜ao de tgx.

2. Construa os seguintes gr´aficos:

(a)

f : R → R

dada por f(x) = −sen x

3

(b)

f : R → R

dada por f(x) = 3.sen4x

(c)

f : R → R

dada por f(x) = 1 + 2.senx

(d)

f : R → R

dada por f(x) = sen(x −

π

4

)

(e)

f : R → R

dada por f(x) = |cosx|

(f)

f : R → R

dada por f(x) = 1 + 2.cos3x

(g)

f : (R − {x ∈ R|x 6=

π

6 +

kπ

2

, k ∈ Z}) → R

dada por f(x) = tg(2x +

π

6

)

1

Explicação passo-a-passo:

Determine o per´ıodo das seguintes fun¸c˜oes reais:

(a) f(x) = cotg(x −

π

3

)

(b) g(x) = sec2x

(c) h(x) = cossec(x +

π

4

)

Fun¸c˜oes pares e ´ımpares

Def: Uma fun¸c˜ao

f : A → B

´e denominada fun¸c˜ao par se, e somente se: f(x) = f(−x),∀ x ∈ A, isto ´e dando valores sim´etricos

`a vari´avel, obtemos o mesmo valor para a fun¸c˜ao (A e B s˜ao subconjuntos dos n´umeros reais).

Exemplos de fun¸c˜oes pares:

(a) f(x) = |x| ´e fun¸c˜ao par, pois | − x| = |x| ∀x ∈ R

(b) f(x) = x

n onde n ´e par.

4. Mostre que a fun¸c˜ao cosseno ´e par.

Def: Uma fun¸c˜ao

f : A → B

´e denominada fun¸c˜ao ´ımpar se, e somente se: f(x) = −f(−x),∀x ∈ A, isto ´e dando valores sim´etricos

`a vari´avel, obtemos valores sim´eticos para a fun¸c˜ao (A e B s˜ao subconjuntos dos n´umeros reais).

Exemplos de fun¸c˜oes ´ımpares:

(a) f(x) = ax, onde a 6= 0.

(b) f(x) = x

n, onde n ´e ´ımpar.

5. Mostre que a fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar.

6. Prove que, se f ´e ´ımpar e 0 pertence ao seu dom´ınio ent˜ao f(0) = 0.

7. Prove que, se f ´e par e ´ımpar, ent˜ao f(x) = 0.

8. Resolva, em R, as seguintes equa¸c˜oes:

(a) sen2x =

1

4

(b) 2sen2x − 3senx + 1 = 0

(c) 3.tgx = 2.cosx

(d) cossecx = 2

(e) sen5x = sen3x

(f) cos(

π

6 + x) = 0

2

(g) tgx = tg π

5

9. Para que valores de x ∈ R existe log2

(2senx − 1)?

10. Resolva, em R: log2

(2senx − 1) = log4

(3sen2x − 4senx + 2)

RESPOSTAS

1. (a) −1

(b) −tgx

2. (a) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 6 Π

(b) Im(f) = [-3,3] , p(f) = Π/2

3

(c) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2 Π

(d) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 2 Π

(e) Im(f) = [0,1] , p(f) = Π

4

(f) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2Π

3

(g) D(f) = {x ∈ R| x 6=

π

6 +

kπ

2

, k ∈ Z} , p(f) = Π

2

3. D(f) = {x ∈ R| x 6=

π

3 + kπ, k ∈ Z}

D(g) = {x ∈ R| x 6=

π

4 +

kπ

2

, k ∈ Z}

D(h) = {x ∈ R| x 6=

−π

4 + kπ, k ∈ Z}

4. Observe que:

cos(x) = sen(

π

2 − x) = sen(π − (

π

2 + x)) = sen(

π

2 + x) = sen(

π

2 − (−x)) = cos(−x).

5. Observe que:

sen(x) = cos(

π

2 − x) = cos(π + (−

π

2 − x)) = −cos(−

π

2 − x) = −cos(

π

2 − (−x)) = −sen(−x).

6. Observe que:

f(0) = f(−0) = −f(−0). Da´ı 2 · f(0) = 0 e portanto f(0) = 0.

(f) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2Π

3

(g) D(f) = {x ∈ R| x 6=

π

6 +

kπ

2

, k ∈ Z} , p(f) = Π

2

3. D(f) = {x ∈ R| x 6=

π

3 + kπ, k ∈ Z}

D(g) = {x ∈ R| x 6=

π

4 +

kπ

2

, k ∈ Z}

D(h) = {x ∈ R| x 6=

−π

4 + kπ, k ∈ Z}

4. Observe que:

cos(x) = sen(

π

2 − x) = sen(π − (

π

2 + x)) = sen(

π

2 + x) = sen(

π

2 − (−x)) = cos(−x).

5. Observe que:

sen(x) = cos(

π

2 − x) = cos(π + (−

π

2 − x)) = −cos(−

π

2 − x) = −cos(

π

2 − (−x)) = −sen(−x).

6. Observe que:

f(0) = f(−0) = −f(−0). Da´ı 2 · f(0) = 0 e portanto f(0) = 0.

5

7. Observe que:

f(x) = f(−x), pois f ´e par e ,

f(x) = −f(−x), pois f ´e ´ımpar

Portanto 2 · f(x) = 0, ou seja, f(x) = 0 ∀ x ∈ dom´ınio de f.

8.

(a) S = {x ∈ R| x =

π

6 + 2kπ ou x =

5π

6 + 2kπ ou x =

7π

6 + 2kπ ou x =

−π

6 + 2kπ, k ∈ N}

(b) S = {x ∈ R| x =

π

2 + 2kπ ou x =

π

6 + 2kπ ou x =

5π

6 + 2kπ, k ∈ N}

(c) S = {x ∈ R| x =

π

6 + 2kπ ou x =

5π

6 + 2kπ, k ∈ N}

(d) S = {x ∈ R| x =

π

6 + 2kπ ou x =

5π

6 + 2kπ, k ∈ N}

(e) S = {x ∈ R| x = kπ ou x =

π

8 +

kπ

4

, k ∈ N}

(f) S = {x ∈ R| x =

π

3 + 2kπ ou x =

−2π

3 + 2kπ, k ∈ N}

(g) S = {x ∈ R| x =

π

5 + kπ, k ∈ N}

9. S = {x ∈ R|

π

6 + 2kπ ≤ x ≤

5π

6 + 2kπ, k ∈ N}

10. S = {x ∈ R| x =

π

2 + kπ, k ∈ N}

BIBLIOGRAFIA

• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matem´atica Ele-

mentar - Trigonometria. 8a

edi¸c˜ao. Vol 3. Editora: Atual.

Esta lista foi elaborada pela P rofa Ms. Cl´audia Ribeiro Santana (UESC-DCET) e con-

feccionada com a colabora¸c˜ao de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6

o

semestre de Qu´ımica-

UFBA).

6

Answer 2

Resposta:

hnvjkrjckudjrkckdkkj no carnaval e o nome do trabalho de história da minha mae