Question

Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado, ou impossível em função do parâmetro m
a) mx + 2y = m-1
2x + 4y =3m

b) 3x -2y + mz = 0
x+y + z = 0
2x - y - z = 0

Answer 1

Para m = 1, o sistema é impossível e para m ≠ 1, o sistema é indeterminado; Para m ≠ -2, o sistema é determinado e para m = -2, o sistema é indeterminado.

a) Vamos escalonar a matriz $\left[\begin{array}{ccc}2&4|3m\\m&2|m-1\end{array}\right]$.

Fazendo L1 ← L1/2: $\left[\begin{array}{ccc}1&2|\frac{3m}{2}\\m&2|m-1\end{array}\right]$.

Fazendo L2 → L2 - m.L1: $\left[\begin{array}{ccc}1&2|\frac{3m}{2}\\0&2-2m|m-1 - \frac{3m^2}{2}\end{array}\right]$.

Se 2 - 2m = 0 ∴ m = 1, então o sistema não tem solução (é impossível).

Se 2 - 2m ≠ 0 ∴ m ≠ 1, então o sistema possui infinitas soluções (é indeterminado).

b) Vamos escalonar a matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1|0\\2&-1&-1|0\\3&-2&m|0\end{array}\right]$.

Fazendo L2 ← L2 - 2.L1 e L3 ← L3 - 3.L1: $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1|0\\0&-3&-3|0\\0&-5&m-3|0\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - 5.L2/3: $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1|0\\0&-3&-3|0\\0&0&m+2|0\end{array}\right]$.

Se m + 2 ≠ 0 ∴ m ≠ -2, então o sistema possui uma solução (o sistema é determinado).

Se m + 2 = 0 ∴ m = 2, então o sistema possui infinitas soluções (o sistema é indeterminado).

Answer 2

A) O sistema é impossível se m = 1, e é possível e determinado se m ≠ 1.

B) O sistema é indeterminado se m = -2 , e é possível e determinado se m ≠ -2.

Podemos calcular facilmente esse parâmetro m transformando os sistemas lineares em matrizes quadradas e calcular o seu determinante.

O determinante é um número real e único que está associado a uma matriz quadrada, e de acordo com o seu valor podemos inferir se o sistema é:

• Determinado: possui uma solução única;
• Indeterminado: pois possui infinitas soluções;
• Impossível: pois não apresenta soluções.

Se o determinante da matriz for igual a zero temos que esse sistema é indeterminado ou impossível. Caso diferente, temos um sistema determinado. Utilizaremos a regra de Cramer para calcular o determinante.

VEJA O CÁLUCLO ABAIXO:

Alternativa a)

mx + 2y = m-1

2x + 4y = 3m

A matriz quadrada dos coeficientes é:

$\left[\begin{array}{ccc}m&2\\2&4\end{array}\right]$

O determinante é dado por:

D = diagonal principal - diagonal secundária

D = m*4 - (2*2)

D = 4m - 4 , fazendo D = 0 temos

4m - 4 =0

m = 1

Logo o sistema é impossível se m = 1, e possível e determinado se m ≠ 1

Alternativa b)

3x -2y + mz = 0

x+y + z = 0

2x - y - z = 0

A matriz quadrada dos coeficientes é:

$\left[\begin{array}{ccc}3&-2&m\\1&1&1\\2&-1&-1\end{array}\right] \\D = \left[\begin{array}{ccc}3&-2&m\\1&1&1\\2&-1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3&-2\\1&1\\2&-1\end{array}\right]$

Pela regra de Cramer o determinante é:

D = [3*1*(-1)] + [-2*1*2] + [m*1*(-1)] - [2*1*m] - [(-1)*1*3] - [(-1)*1*(-2)]

D = - 3 - 4 - m - 2m + 3 - 2

D = - 6 - 3m, fazendo D = 0 temos

- 6 - 3m

m = 2

Perceba que independente do valor de m, temos uma solução homogênea padrão que satisfaz o sistema: (x,y,z) = (0,0,0)

Logo o sistema é indeterminado se m = 2, e possível e determinado se m ≠ 2

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