Question

Usando tecnicas de integração encontre a solução da integral 1/ (-x + 5 )2 onde o limite de integração esta variando entre 3 e menos infinito e classifique em convergente ou divergente.
converge para 1/2


é divergente


converge para zero


diverge para 5


converge para 9

Answer 1

• O que é integral?

A integração é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral, criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano. No entanto ela surge naturalmente em dezenas de problemas da física.

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a , b], a integral definida desta função é denotada por:

$S=\int\limits^a_b {f(x)}~dx$

• Resolvendo o problema

Queremos encontrar o valor da seguinte integral:

$S=\int\limits^3_{-\infty} {\dfrac{1}{(5-x)^2}}~dx$

Chamando 5-x de u, temos

$u=5-x\\\\\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx} \left[5-x \right]\\\\\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx} \left[5\right]-\dfrac{d}{dx} \left[x \right]\\\\\dfrac{du}{dx}=0-1\\\\\dfrac{du}{dx}=-1\\\\dx=-du$

Substituindo esse valores na integral original, temos

$S=-\int\limits^3_{-\infty} {\dfrac{1}{u^2}}~du\\\\\\S=-\int\limits^3_{-\infty} {u^{-2}}~du\\\\\\S=-\left.\dfrac{u^{-1}}{-1} \right|^3_{-\infty}\\\\\\S=\left. u^{-1} \right|^3_{-\infty}\\\\\\S=\left.\dfrac{1}{u} \right|^3_{-\infty}$

Substituindo de volta

$S=\left.\dfrac{1}{5-x} \right|^3_{-\infty}\\\\\\S=\dfrac{1}{5-3}-\dfrac{1}{5-(-\infty)}\\\\\\S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5+\infty}\\\\\\S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\infty}\\\\\\S=\dfrac{1}{2}-0\\\\\\\boxed{\boxed{S=\dfrac{1}{2}}}$

• Conclusão

Portanto, a integral é convergente e converge para 1/2.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/28046699