Uma partícula (projétil) é lançada das coordenadas (0m,0m), com velocidade de módulo
20m/s formando um ângulo de 45°
com a superfície horizontal. O projétil descreveu uma
trajetória parabólica e caiu no solo a uma distância horizontal R em relação ao ponto de
lançamento, ou seja, coordenadas finais (R,0m). Considerando desprezíveis os efeitos da
resistência do ar no movimento do projétil, calcule:
a. A altura máxima alcançada pelo projétil.
b. O tempo de voo do projétil;
c. O alcance R do projétil.
Respostas
Seguinte, o vetor velocidade forma um ângulo de 45° com a horizontal. Em geral a gente decompõe esse vetor em suas componentes horizontais e verticais. Sendo V o módulo do vetor velocidade.
V = 20 m/s
Componente horizontal
Vx = V×cos45° = 20 × √2/2 = 10√2 m/s
Componente vertical
Vy = V×sen45° = 20 × √2/2 = 10√2 m/s
As componente tem o mesmo valor pois
cos45° = sen45°
Agora podemos analisar os movimentos individualmente.
Para determinar-mos a altura máxima atingida pelo projétil, usamos a componente vertical Vy através da equação horária do espaço.
Yf = Yi + Vi×t - g×t²/2
O sinal de "-"(negativo) surge devido a atração da gravidade atuar no sentido contrário do movimento(O movimento é para cima e a gravidade atua para baixo), mas esse sinal depende do referêncial que escolher-mos, se assumir-mos que o sentindo positivo é para cima e que o valor da atração gravitacional é g = 9,8 m/s²
Yf é a altura máxima e Yi é a altura inicial que é zero, Vi é a velocidade inicial que é 10√2 m/s², então nossa equação fica assim
Yf = 10√2×t - 4.9t²
Precisamos do tempo para determinar-mos a altura máxima, eu poderia usar os conhecimento de calculo diferencial mas não sei se você já os viu, então vamos usar a física mesmo.
A velocidade vertical é da pela equação
Vyf = Vyi - gt
Quando o projétil atinge a altura máxima sua velocidade zero, pois ele sobe até uma certa altitude depois desse, ou seja, em algum momento ele teve que para, então, na altura máxima
Vyf = 0, substituindo na equação
0 = 10√2 - 9.8t
t = 10√2/9.8 = 1.44 s
Então a altura máxima será
Yf = 10√2 × 1.44 - 4.9×(1.44)²
Yf = 10,2 m
O tempo de voo do projétil será o tempo que ele leva para atingir o topo somado com o tempo que ele leva para atingir o solo.
O tempo que o projétil leva para atingir o solo a partir do topo é
10.2 = 4.9t²
t = +√(10.2/4.9)
t = 1.44 s
Então o tempo total de voo será
T = 2×1.44 = 2.88 s
O alcance R do projétil é determinado pela componente horizontal através da equação
Xf = Vxi×t
Xf = 10√2×2.88
Xf = 40.7 m
Qualquer dúvida manda nos comentários.