Question

Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 9^x - 4.3^x + 3 = 0
b) (raiz)27^2x-2 = 81^x-3
c) 25^x - 3.5^x = -125
d) (1\9)^x = (raiz) 27
e) 5^x = 1\125
f) 2^x + 3 = 2^x - 2 _ 62

Answer 1

Prezada Danielly,

Para resolver uma equação exponencial, em geral, utiliza-se o método da substituição de variável. Ou seja, encontra-se "alguma coisa" que possa ser substituída por "y", ou a letra que for conveniente.

Na primeira questão temos que:

$9^x-4\cdot3^x+3=0$   (1)

Ora podemos reescrever (1) da seguinte forma:

$(3^2)^x-4\cdot3^x+3=0\\(3^x)^2-4\cdot3^x+3=0$   (2)

Em (2) faremos $3^x=y$ e teremos:

$y^2-4y+3=0$   (3)

Sabemos - eu sei que você sabe - que a equação (3) pode ser resolvida utilizando a Fórmula de Bhaskara. (Só para lembrar, que não é dele. Risos.) Assim, obtemos como respostas:

$y' = 1\\y''=3$

Mas como a gente fez $3^x=y$, então teremos que verificar os valores para "x", do seguinte modo:

$3^x = y\\3^x=1\\3^x=3^0\\x=0$

e

$3^x=y\\3^x=3\\3^x=3^1\\x=1$

Este é o conjunto verdade, ou conjunto solução, da primeira questão:

$S=${$1,3$}

Deixo aqui as demais soluções apenas para que você se baseie e encontre os resultados pelo método acima.

$\sqrt{27^{2x-2}}=81^{x-3}$
A solução única é $x=9$.

$25^x-3\cdot5^x=-125$
Não possui solução em $\mathbb{R}$.

$\left(\frac{1}{9}\right)^x=\sqrt{27}$
A solução única é $x=-\frac{3}{4}$.

$5^x=\frac{1}{125}$
A solução única é $x=-3$.

Em tempo, a última não respondi, porque a questão está um tanto dúbia.

Abraço,

Douglas Joziel.