Question

Escreva resumidamente tópicos de definição em relação ao estudo dos números complexos enfatizando as 3 formas (algébrica, geométrica e trigonométrica)

Obs: Não da migué pfv

Answer 1

Número complexo na forma algébrica

É quando o mesmo é escrito na forma

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{Z=a+bi}}}}}$

Onde a é a parte real (que se relaciona com o eixo x) e b é a parte imaginária (que se relaciona com o eixo y).assim um ponto P(a,b) é a representação de um número complexo z=a+bi no

$\boxed{\begin{array}{c}\sf{No~plano~de~Argand-Gauss}\end{array}}$

Um número complexo é imaginário puro quando a=0.

Conjugado de um número complexo

Se $\sf{Z=a+bi}$ então seu conjugado é

$\sf{\overline{Z}=a-bi}$

Ou seja o conjugado de um complexo é a obtido trocando-se o sinal da parte imaginária.

potências de i

Existem 4 e somente 4 potências dentro dos números complexos pois as demais potências apresentam os mesmos resultados das outras anteriores sendo por esse motivo o conjunto dos complexos munido da operação multiplicação usual um grupo cíclico.

$\boxed{\begin{array}{c}\sf{i^0=1}\\\sf{i^1=i} \\\sf{i^2=-1}\\\sf{i^3=-i}\end{array}}$

Adição algébrica de números complexos na forma algébrica

Sejam $\sf{Z_1=a+bi~~e~~Z_2=c+di}$ dois números complexos quaisquer. Então a soma

$\sf{Z_1+Z_2}$ é $\sf{Z_1+Z_2=(a+c)+(b+d)i}$

Produto de complexos na forma algébrica

Sejam $\sf{Z_1=a+bi~~e~~Z_2=c+di}$ dois números complexos quaisquer. Então o produto

$\sf{Z_1\cdot Z_2}$ é

$\sf{Z_1\cdot Z_2=(ac-bd)+(ab+bc)i}$

Quociente de números complexos

Sejam $\sf{Z_1=a+bi~~e~~Z_2=c+di}$ dois números complexos quaisquer. Então o quociente é dado por

$\sf{\dfrac{Z_2}{Z_1}}$ é

$\sf{\dfrac{Z_2}{Z_1}=\dfrac{ac+bd}{a^2+b^2}+\dfrac{ad-bc}{a^2+b^2}i}$

$\dotfill$

Módulo de um número complexo

Dado um número complexo z=a+bi,o seu mó dulo Representa-se por $\sf{\rho}$ onde

$\sf{\rho=\sqrt{a^2+b^2}}$

Argumento de um número complexo

É o ângulo $\sf{\theta}$ tal que

$\sf{cos(\theta)=\dfrac{a}{\rho}~~e~~sen(\theta)=\dfrac{b}{\rho}}$

Forma trigonométrica de um número complexo

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{Z=\rho\left[cos(\theta)+i~sen(\theta)\right]}}}}}$

multiplicação números complexos na forma trigonométrica

Sejam $\sf{Z_1=\rho_1\left[cos(\theta_1)+i~sen(\theta_1)\right]}$ e $\sf{Z_2=\rho_2\left[cos(\theta_2)+i~sen(\theta_2)\right]}$

Então

$\sf{Z_1\cdot Z_2=\rho_1\cdot\rho_2\left[cos(\theta_1+\theta_2)+i~sen(\theta_1+\theta_2)\right]}$

Divisão de números complexos na forma trigonométrica

$\sf{\dfrac{Z_1}{Z_2}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\left[cos(\theta_1-\theta_2)+i~sen(\theta_1-\theta_2)\right]}$

Potenciação de um número complexo na forma trigonométrica

$\sf{Z^n=\rho^n\cdot\left[cos(n\theta)+i~sen(n\theta)\right]}$

Radiciação de um número complexo ma forma trigonométrica

$\sf{Z_k=\sqrt[n]{p}\left[cos\left(\dfrac{\theta}{n} +k\cdot\dfrac{2\pi}{n}\right)+i\cdot sen\left(\dfrac{\theta}{n}+\cdot\dfrac{2\pi}{n}\right) \right]}$