Question

Classifique as retas r e s conforme as suas posições relativas:

a) (r) 4x-2=0   (s) -4y+1=0

 

b) (r) 5x+2y+1=0   (s) 2x+5y+4=0

 

c) (r) x/3+y/5=1     (s) x/5=y/3

Answer 1

Bom, a posição relativa das retas é feita da seguinte forma:

$\text{Retas paralelas coincidentes} \rightarrow coeficientes \ iguais \\\\ \text{Retas paralelas distintas} \rightarrow coeficientes \ angulares \ iguais \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow coeficientes \ lineares \ diferentes \\\\ \text{Retas concorrentes} \rightarrow coeficientes \ diferentes$


Lembrando que coeficiente angular é aquele que acompanha o "x". E o linear é o termo sem incógnita.

a) $(r) \ 4x-2=0 \Rightarrow 4x=2 \therefore \boxed{x = 2} \\ \text{Concluimos que esta reta esta na vertical.} \\\\ (s) \ -4x+1=0 \Rightarrow 4x=1 \therefore \boxed{x = \frac{1}{4}} \\ \text{Esta reta tamb\'{e}m esta na vertical.} \\\\ \Rightarrow \text{Duas retas na vertical: \boxed{\boxed{Paralelas \ distintas}}}$


b) $(r) \ 5x+2y+1=0 \Rightarrow 2y=-5x-1 \therefore \boxed{y = -\frac{5x}{2}-\frac{1}{2}} \\ coeficiente \ angular = -\frac{5}{2} \\ coeficiente \ linear = -\frac{1}{2} \\\\\\ (s) \ 2x+5y+4=0 \Rightarrow 5y=-2x-4 \therefore \boxed{y = -\frac{2x}{5}-\frac{4}{5}}} \\ coeficiente \ angular: -\frac{2}{5} \\ coeficiente \ linear: -\frac{4}{5} \\\\\\ m_{r} \neq m_{s} \ e \ q_{r} \neq q_{s}: \boxed{\boxed{Retas \ concorrentes}}$


c) $(r) \ \frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1 \Rightarrow \frac{y}{5}=1-\frac{x}{3} \Rightarrow \boxed{y= -\frac{x}{15}+\frac{1}{5}}} \\ coeficiente \ angular: -\frac{1}{15} \\ coeficiente \ linear : \frac{1}{5} \\\\\\ (s) \ \frac{x}{5} = \frac{y}{3} \Rightarrow \boxed{y = \frac{x}{15}} \\ coeficiente \ angular = \frac{1}{15} \\ coeficiente \ linear = 0 \\\\\\ m_{r} \neq m_{s} \ e \ q_{r} \neq q_{s}: \boxed{\boxed{Retas \ concorrentes}}$

Answer 2

As retas r e s são concorrentes.

Duas retas no plano podem ser classificadas em:

• Concorrentes → existe um único ponto de interseção;
• Coincidentes → existem infinitos pontos de interseção;
• Paralelas → não existem pontos de interseção.

a) Da reta 4x - 2 = 0, temos que:

4x = 2

x = 2/4

x = 1/2.

Da reta -4y + 1 = 0, temos que:

4y = 1

y = 1/4.

Então, as retas r e s são concorrentes no ponto (1/2,1/4).

b) Multiplicando a equação 5x + 2y + 1 = 0 por 2, obtemos 10x + 4y + 2 = 0.

Multiplicando a equação 2x + 5y + 4 = 0 por -5, obtemos -10x - 25y - 20 = 0.

Somando as duas equações obtidas:

-21y - 18 = 0

21y = -18

y = -6/7.

Consequentemente:

5x + 2(-6/7) + 1 = 0

5x - 12/7 + 1 = 0

5x = 5/7

x = 1/7.

As retas r e s são concorrentes no ponto (1/7,-6/7).

c) Da equação da reta x/5 = y/3, podemos dizer que x = 5y/3.

A equação da reta r pode ser escrita da seguinte forma:

5x + 3y = 15.

Substituindo o valor de x na equação acima:

5.5y/3 + 3y = 15

25y/3 + 3y = 15

25y + 9y = 45

34y = 45

y = 45/34.

Consequentemente:

x = (5/3).(45/34)

x = 75/34.

Portanto, as retas r e s são concorrentes no ponto (75/34,45/34).

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