Question

Considerando que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule o logaritmo log ∛54.

Answer 1

$log \sqrt[3]{54}$

Fatoramos o 54.

$54 \ | \ 2 \\ 27 \ | \ 3 \\ 09 \ | \ 3 \\ 03 \ | \ 3 \\ 01 \\\\\ 54 = 2 \cdot 3^{3}$

Voltando ao logaritmo.

$log \sqrt[3]{54} \\\\ log \sqrt[3]{2 \cdot 3^{3}}$

Obviamente, um número que está elevado ao cubo numa raíz cúbica, saí dela. É como se fosse 4 na raíz quadrada. Como 4 é igual a 2², ele sai da raiz como 2. É o que ocorre aqui:

$log \sqrt[3]{2 \cdot 3^{3}} \\\\ log3 \cdot \sqrt[3]{2}$

Pela propriedade do log, separamos para facilitar o cálculo:

$log3 \cdot \sqrt[3]{2} \\\\ log3+ log \sqrt[3]{2}$


O passo seguinte é tirar este 2 da raíz. Para isso, utilizamos a seguinte regra:

$\boxed{ \sqrt[n]{x^{b}} = x^{\frac{b}{n}}}$

Voltando:

$log3+ log \sqrt[3]{2} \\\\ log3+log2^{\frac{1}{3}}$

Utilizando outra propriedade do log, esta potência pode ser jogada multiplicando:

$log3+log2^{\frac{1}{3}} \\\\ log3+ \frac{1}{3} \cdot log 2 \\\\ 0,4771+ \frac{1}{3} \cdot 0,3010 \\\\ 0,4771+\frac{0,3010}{3} \\\\ MMC = 3 \\\\ \frac{1,4313}{3}+\frac{0,3010}{3} = \boxed{\frac{1,7323}{3}}$