Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 3, 6) e diâmetro = 8.
a) (x + 3)² + (y – 6)² = 16
b) (x - 3)² + (y – 6)² = 16
c) (x + 3)² + (y – 6)² = 64
d) (x + 3)² + (y + 6)² = 16
Respostas
Resposta:
Explicação passo-1.i) Agora veja: tendo a relação (I) acima como parâmetro, então vamos substituir nela o "a" por "-2", o "b" por "3" e o "r" por 4. Fazendo isso, teremos:
(x-(-2))² + (y-3)² = 4² ------ desenvolvendo, teremos:
(x+2)² + (y-3)² = 16 ----- esta é a equação reduzida da circunferência da 1ª questão. Para encontrar a equação geral, vamos desenvolver a expressão acima, ficando:
x²+4x+4 + y²-6y+9 = 16 ------ passando "16" para o 1º membro, teremos:
x²+4x+4 + y²-6y+9 - 16 = 0 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. Ou seja, esta é a equação geral da circunferência que tem centro em C(-2; 3) e raio = 4.
2ª questão: Dados os pontos A(-5; 2) e B(1; 4), escreva a equação reduzida da circunferência cujo diâmetro é o segmento AB acima.
2.i) Agora veja: se o segmento AB é o diâmetro e considerando que o raio sempre é a metade do diâmetro, então vamos logo saber qual é a medida do diâmetro. Para isso, calcularemos a distância (d) do ponto A(-5; 2) ao ponto B(1; 4). Fazendo isso, teremos:
d² = (1-(-5))² + (4-2)²
d² = (1+5)² + (4-2)²
d² = (6)² + (2)²
d² = 36 + 4
d² = 40
d = ± √(40) ----- note que 40 = √(2²*10). Logo:
d = ± √(2².10) ----- como o "2" está elevado ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando:
d = ± 2√(10) ------ e como o diâmetro não pode ter medida negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:
d = 2√(10) <--- Esta é a medida do diâmetro da circunferência da 2ª questão.
2.ii) E, como o raio sempre é a metade do diâmetro, então o raio da circunferência da 2ª questão será:
r = 2√(10) / 2 ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:
r = √(10) <--- Esta é a medida do raio da circunferência da 2ª questão.
2.iii) Agora vamos encontrar o centro da circunferência da 2ª questão. Para isso, basta que encontremos o ponto médio do segmento AB, com A(-5; 2) e B(1; 4). Assim, chamando de "C" o ponto médio do segmento acima, teremos [lembre-se que o ponto médio de A(xa; ya) e B(xb; yb) é dado assim: M[(xa+xb)/2; (ya+yb)/2]:
C[(-5+1)/2; (2+4)/2]
C[(-4)/2; (6)/2]
C(-2; 3) <--- Este é o centro da circunferência da 2ª questão.
2.iv) Assim, como já temos o centro [C(-2; 3)] e temos o raio [r = √(10)], então vamos encontrar a equação reduzida dessa circunferência. Lembre-se que uma circunferência que tenha centro em C(a; b) e tenha raio = r, a sua equação reduzida é dada pela seguinte fórmula:
(x-a)² + (y-b)² = r² . (II)
Assim, tendo a relação (II) acima como parâmetro, então a circunferência da 2ª questão, que tem centro em C(-2; 3) e r = √(10) será dada da seguinte forma (basta substituir o "a", o "b" e o "r" por "-2", "3" e "√(10)", respectivamente na fórmula acima):
(x-(-2))² + (y-3)² = [√(10)]² ----- desenvolvendo, teremos:
(x+2)² + (y-3)² = 10 <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da 2ª questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Resposta:1A
2A
Explicação passo-a-passo: CLASS ROOM
2- a