Question

Sabendo que z = (cós 2pi/3 + isen 2pi/3 ) então z6 é igual a

Answer 1

O resultando para elevação do numero complexo z é 64, vamos entender como.

$\mathrm{Utilizar\:a\:seguinte\:identidade\:trivial}:\quad \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$z=2(\frac{1}{2} + isen\frac{\pi }{3} )$

$\mathrm{Utilizar\:a\:seguinte\:identidade\:trivial}:\quad \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\mathrm{Colocar\:os\:parenteses\:utilizando}:\quad \:a\left(b+c\right)=ab+ac$

$a=2,\:b=\frac{1}{2},\:c=i\frac{\sqrt{3}}{2}\\z=2\cdot \frac{1}{2}+2i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Simplificando temos:

$z=1+\sqrt{3}i$

Pegamos esse resultando e elevamos a 6:

$\mathrm{Aplicar\:o\:teorema\:do\:binomio}:\quad \left(a+b\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\left(n-i\right)}b^i$

$a=1,\:\:b=\sqrt{3}i\\z=\sum _{i=0}^6\binom{6}{i}\cdot \:1^{\left(6-i\right)}\left(\sqrt{3}i\right)^i$

$z=1+6\sqrt{3}i-45-60\sqrt{3}i+135+54\sqrt{3}i-27$

Logo z, é:

$z=64$