A) Verifique que n^3+1 =(n+ 1)(n^2-n+1)
b) Mostre que se n^3 + 1 é um número primo então n^3 + 1 é o número 2
Respostas
Vamos analisar a construção de divisibilidade e condições para valores primos:
A) Verifique que n^3+1 =(n+ 1)(n^2-n+1).
Para fazer esta verificação é bem simples, basta multiplicar o lado direito e vermos que é possível simplificando chegar no lado esquerdo:
(n+1) . (n² - n + 1)
Fazendo a distributiva:
n . n² - n . n + n . 1 + n² - n + 1
n³ - n² + n + n² - n + 1
Cortando os termos que somam e se subtraem temos:
n³ + 1
E assim vemos que de fato esta afirmação é verdadeira:
b) Mostre que se n^3 + 1 é um número primo então n^3 + 1 é o número 2.
Então temos o seguinte termo:
n³ + 1
Como vimos anteriormente, podemos reescrever este termo de outra forma:
(n+1) . (n² - n + 1)
Assim note que para qualquer valor natural que você substituir no lugar de n, o resultado da equação sempre será maior que n (pois é n³+1) e sempre será divisível pelo sucessor de n, sendo este n+1, pois ele está em evidência multiplicando o parenteses.
Só há uma excesão onde este valor vai ser o mesmo que o total, que é quando n for igual a 1, pois 1 não é considerado como primo, então o sucessor dele sendo 2 não quebra a regra de primos:
n = 1
(1+1) . (1² - 1 + 1) = 2 . 1 = 2