Determine:
a) A equação do plano π que passa por A(10,1,−1), B(1,9,−1) e C(1,−1,5).
b) As equações paramétricas da reta que passam pelo ponto P(4, −1, 0) e é paralela à reta que passa pelos pontos A(−3, 9, −2) e B(5, 7, −3).
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) Um método para determinar a equação de um plano que passa pelos pontos A, B, C é considerar os vetores AB, AC, AP, onde P(x, y, z) é um ponto qualquer sobre este plano α. Sendo estes vetores coplanares, segue que o produto misto destes vetores é nulo, isto é: (AB, AC, AP) = 0.
O vetor AB = B-A = (-9,8,0)
O vetor AC = C – A = (-9,-2,6)
O vetor AP = P-A = (x-10, y-1, z +1)
|9..............8..............0|
|-9............-2.............6| aplica Sarrus.
|x-10 .......y-1.......z+1|
|-9..............8..............0|...............-9..............8
|-9............-2...............6|...............-9............-2
|x-10 .......y-1............z+1|..............x-10 .......y-1
Esse determinante tem que ser igual a zero porque os vetores tem que ser complanares, ou seja, não podem estar em plano distintos, caso contrário não vai determinar o plano(fazer com que ele fique conhecido)
18(z+1) +48(x-10) +0.(-9).(y-1) –[-54(y-1) – 72(z+1)] = 0
18z+18+ 48x – 480 + 0 – [-54y + 54 – 72z – 72] = 0
+18z+18+ 48x – 480 + 0 + 54y - 54 +72z + 72 = 0
48x +54y + 90z -462 = 0, dividindo tudo por 2.
24x-27y+45z – 231 = 0
b) Se é paralela então tem o mesmo vetor diretor.
AB = B-A = (8, -2, -1)
(x, y, z) = (4, -1, 0) + t(8, -2, -1)
{x = 4 + 8t
{y = -1-2t
{z = 0 –t
{x = 4 + 8t
{y = -1-2t
{z = -t
Confere os cálculos, tenho medo de, por distração, ter errado em algum sinal.