Matéria: Matemática
Autor: maligna00
Perguntado 6 anos atrás

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dada a PA de números ímpares (1,3,5,7,9...) calcule o a108 dessa PA

Respostas

respondido por: Anônimo

Resposta:

215

Explicação passo-a-passo:

É uma PA de razão 2

Utilizando a fórmula do termo geral:

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

$a_{108}=a_1+107r$

$a_{108}=1+107\cdot2$

$a_{108}=1+214$

$a_{108}=215$

maligna00: poderia me ajudar dnv

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (1, 3, 5, 7, 9,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:1

c)centésimo oitavo termo (a₁₀₈): ?

d)número de termos (n): 108

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 108ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saibam os valores do centésimo oitavo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 3 - 1 ⇒

r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo oitavo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₈ = 1 + (108 - 1) . (2) ⇒

a₁₀₈ = 1 + (107) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₈ = 1 + 214 ⇒

a₁₀₈ = 215

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O centésimo oitavo termo da P.A.(1, 3, 5, 7,...) é 215.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₈ = 215 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo oitavo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₈ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

215 = a₁ + (108 - 1) . (2) ⇒

215 = a₁ + (107) . (2) ⇒

215 = a₁ + 214 ⇒ (Passa-se 214 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

215 - 214 = a₁ ⇒

1 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 1 (Provado que a₁₀₈ = 215.)

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