Question

1- Construa os gráficos de cada uma das funções e dê o seu domínio e conjunto imagem:

a) {x −4,se + 1,se x x > ≤ 2

2

b) { −2x x2 − + x,se 1,se x x ≤ > 2

2

c)[x2 − 3x,se x ≤ 4 c) {6, se 4 < x ≤ 5

x + 1,se x > 5

d) { 2x − 3, se x ≤ 2 −x + 3,se 2 < x ≤ 4 x − 5,se x > 4

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $\begin{cases} x+1,\text{se}~x\le2 \\ -4,\text{se}~x>2 \end{cases}$

$f_{1}(x)=x+1$ é uma função afim crescente, cujo gráfico é uma reta.

$f(0)=0+1~\Rightarrow~f(0)=1$

$f(2)=2+1~\Rightarrow~f(2)=3$

$f_{2}(x)=-4$ é uma função afim constante

Temos que:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le3\}$

O gráfico está em anexo (em azul)

b) $\begin{cases} x^2-x,\text{se}~x\le2 \\ -2x+1,\text{se}~x>2 \end{cases}$

$f_{1}(x)=x^2-x$ é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola, com concavidade para cima, que passa pelos pontos $(0,0)$, $(1,0)$ e $(2,2)$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot0$

$\Delta=1$

$y_V=\dfrac{-1}{4}$

$f_{2}(x)=-2x+1$ é uma função afim decrescente, cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos $(3,-5)$ e $(4,-7)$

E $f_{2}(2)$ seria igual a$-3$

Temos que:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\text{Im}(f)=\left\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge\dfrac{-1}{4}~\text{ou}~y<-3\right\}$

O gráfico está em anexo (em vermelho)

c) $\begin{cases} x^2-3x,\text{se}~x\le4 \\ 6,\text{se}~4< x \le5 \\ x+1,\text{se}~x>5 \end{cases}$

$f_{1}(x)=x^2-3x$ é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola, com concavidade para cima, que passa pelos pontos $(0,0)$, $(4,4)$ e $(1,-2)$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot0$

$\Delta=9$

$y_V=\dfrac{-9}{4}$

$f_{2}(x)=6$ é uma função afim constate

$f_{3}(x)=x+1$ é uma função afim crescente, cujo gráfico é uma reta, que passa pelos pontos $(5,6)$ e $(10,11)$

Temos que:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\text{Im}(f)=\left\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge\dfrac{-9}{4}\right\}$

O gráfico está em anexo (em verde)

d) $\begin{cases} 2x-3,\text{se}~x\le2 \\ -x+3,\text{se}~2 < x\le4 \\ x-5,\text{se}~x>4 \end{cases}$

$f_{1}(x)=2x-3$ é uma função afim crescente, cujo gráfico é uma reta, que passa pelos pontos $(0,-3)$ e $(2,1)$

$f_{2}(x)=-x+3$ é uma função afim decrescente, cujo gráfico é uma reta, que passa pelos pontos $(3,0)$ e $(4,-1)$

$f_{3}(x)=x-5$ é uma função afim crescente, cujo gráfico é uma reta, que passa pelos pontos $(5,0)$ e $(6,1)$

Temos que:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\text{Im}(f)=\mathbb{R}$

O gráfico está em anexo (em roxo)