Question

log4 (x+10) + log4 ( x-5) =2

Answer 1

A primeira coisa que devemos realizar é a condição de existência desses logaritmandos que contém "x", pois sabemos que os mesmos devem ser sempre maiores que "0".

$\begin{cases} \sf x + 10 > 0 \\ \sf x > - 10 \\ \\ \sf x - 5 > 0 \\ \sf x > 5 \end{cases}$

Tendo feito a condição de existência, podemos partir para os cálculos. Temos a seguinte expressão logarítmica:

$\sf log_{4}(x + 10) + log_{4}(x - 5) = 2$

Note que temos dois log's de mesma base sendo somados, isso nos dá uma ideia de que podemos usar a propriedade de transformar uma soma em produto e vice versa.

$\boxed{ \sf log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(b.c) }$

Aplicando:

$\sf log_{4}(x + 10) + log_{4}(x - 5) = 2 \\ \sf log_{4}[(x + 10).(x - 5)] = 2$

Chegando aqui podemos aplicar a definição de logaritmo que fala:

• A base elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Algebricamente:

$\begin{cases}\sf log_{a}(b) = x \longrightarrow a {}^{x} = b \\ \\ \sf a \rightarrow base \\ \sf b \rightarrow logaritmando \\ \sf x \rightarrow logaritmo \end{cases}$

Aplicando:

$\sf log_{4}[(x + 10).(x - 5)] = 2 \\ \\ \sf (x + 10).(x - 5) = 4 {}^{2} \\ \sf (x + 10).(x - 5) = 16 \\ \sf x.x - 5.x + 10.x - 10.5 = 16 \\ \sf x {}^{2} - 5x + 10x - 50 = 16 \\ \sf x {}^{2} + 5x - 50 - 16 = 0 \\ \boxed{\sf x {}^{2} + 5x - 66 = 0}$

Agora devemos realizar o cálculo dessa equação do segundo grau:

$\star \: \sf coeficientes \\ \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b= 5 \\ \sf c = - 66 \end{cases} \\ \\ \sf \star Discriminante \\ \sf \Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf \Delta = 5 {}^{2} - 4.1.( - 66) \\\Delta\sf = 25 + 264 \\ \sf \Delta = 289 \\ \\ \sf \star Bh \acute{a}skara \\ \sf x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - 5 \pm \sqrt{289} }{2.1} \\ \\ \sf x = \frac{ - 5 \pm 17}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = \frac{ - 5 + 17}{2} \\ \sf x_1 = \frac{12}{2} \\ \sf x_1 = 6 \\ \\ \sf x_2 = \frac{ - 5 - 17}{2} \\ \ \sf x_2 = \frac{ - 22}{2} \\ \sf x_2 = - 11 \end{cases}$

Portanto "x" pode assumir o valor de "-11" e "6", mas esses não são os resultados de fato, já que temos que analisar a condição de existência com esses valores.

A primeira condição é que x seja maior que -10. O valor obtido "6" é maior que -10, então é sim uma resposta, já o resultado "-11" é menor que -10, pois nos números negativos quão o número estiver mais perto de "0" maior ele é.

A segunda condição nem se fala, pois o valor tem que ser maior que 5, de cara vemos que "6" é maior que 5, mas "-11" não é maior que -5, sendo assim o "6" a única resposta.

Resposta: x = 6.

Espero ter ajudado