Question

sendo z=2-2i, calcule:
a) z²
b) z elevado a 8
c) z elevado a 9

Answer 1

Sendo z=2-2i, calcule:

a) z²
(2 - 2i)²
(2 - 2i)(2 - 2i) =
4 - 4i - 4i + 4i²  ( lembrando que: (i²) - 1))
 
 4 - 8i + 4i² =
 4 - 8i + 4(-1) =
 4 - 8i - 4 =
4 - 4 - 8i =
   0   - 8i   então é (-8i)
 
b) z elevado a 8

z⁸ = (z⁸) = z².z².z²
(2 - 2i)⁸ = (2 - 2i)² . (2 - 2i)².(2 - 2i)² =

ATENÇÃO fazendo SOMENTE 1(um) (2 - 2i)²
(2 - 2i)²
 (2 - 2i)²
(2 - 2i)(2 - 2i) =
4 - 4i - 4i + 4i²  ( lembrando que: (i²) - 1))
 
 4 - 8i + 4i² =
 4 - 8i + 4(-1) =
 4 - 8i - 4 =
4 - 4 - 8i = - 8i
se  
(2 - 2i)²(2 - 2i)² (2 - 2i)² =        e (2 - 2i)² = - 8i
 (-8i) .(-8i)(-8i) =
- (8)(8)(8)(i)(i)(i)
-512         (i²)(i)
                (-1)(i)
-512(-1)(i) =
+512i



c) z elevado a 9  ??????????????????????????????

(2 - 2i)⁸ = 512i

(2 -2i)⁸(2 - 2i)¹ = ( 2 - 2i)⁹
(+512i)(2 - 2i) =
1024i - 1024i²   endo que: (i²) = - 1

1024i - 1024(-1) = 
1024i + 1024


ou ??????????????????????
(^) SIMBOLO (REPRESENTA ELEVADO)
z = r.eͥ^(Θi) 

Para x = 2, y = 2
 Θ = arctg(2/2)
 arctg(1) = π/4 

Como está no quarto quadrante: 

Θ = 2π - π/4
 7π/4 rad 

Valor absoluto: 

r² = 2² + 2² 
r² = 4 + 4 
r² = 8 
r = √8 
r = 2√2 

z = 2√2e^(7πi/4) 
z⁹ = (2√2e^(7πi/4))^9 
z⁹ = 8192√2e^(63πi/4) 



z⁹ = 8192√2(cos(63π/4) + isen(63π/4)) 
z⁹ = 8192√2(1/√2 - i/√2) 
z⁹ = 8192 - 8192i